实验报告一。
学院名称：理学院专业年级：
姓名学号：课程：数学模型与数学建模报告日期：2023年11月10日。
一、实验题目。
例1.1.1 人体的体重与身高。
利用下表中的一组实际测量的数据，分析人体体重w与身高l的关系。
例：1.1.4圆珠体积。
利用累次积分、示性函数积分、蒙特卡洛模拟方法计算一个直径为2cm的球状，带有穿过球心，直径为0.2cm的圆柱体的圆珠的体积，并在达到相同精度计算结果下比较这几种方法的计算时间。
二、实验目的。
1、了解matlab的基本功能，配合介绍数学建模的最基本的要素，进行误差分析，选择合适的数学模型。
2、为了更有效的运用matlab指令，简单运用matlab编程方法，以四种不同的方式计算圆珠体积，通过比较不同程序的计算用时，通过比较，得到计算用时最少，精度能得到要求的算法。
三、问题陈述。
1、人体的身高与体重。
利用下表中的一组实际测量的数据，分析人体体重w与身高l的关系。
2、圆珠体积的计算。
利用累次积分、示性函数积分、蒙特卡洛模拟方法计算一个直径为2cm的球状，带有穿过球心，直径为0.2cm的圆柱体的圆珠的体积，并在达到相同精度计算结果下比较这几种方法的计算时间。
四、模型及求解结果。
1、人体的体重与身高。
解：根据质量与体积、体积与长度之间的量纲关系，可以建立轮廓模型。
关键在于参数的估计。利用实际测量的数据估计参数，有两种方法。
估计方法1：用各观测数据的比值的平均数来估计。
估计方法2：用观测数据的均值的比值估计：
两种参数估值不同，估计的好坏可以通过误差平方和的大小进行比较，计算结果通过图像直观地观察，结果如图：
从数值结果比较，第一种参数估计方法的误差平方和为q1=342.5765，小于第二种参数估计方法的误差平方和q2=814.3192，因此结果更好一些，但是它仍然不是使得误差平方和最小的估计，运用拟合模型可以重新这个问题。
2、圆珠体积。
将求体积的三重积分转为累次积分可以直接得到圆珠的体积。
解法1：换成极坐标积分，采用符号函数积分，运行程序在下面的**中，计算用了61.083812 seconds
解法2：用累次积分公式，采用数值函数定积分指令。因为定积分只能计算积分上下限为常数的定积分，虽然可以计算含参量的一重积分，但是再累次积分就只能利用数值梯形积分公式近似计算。
通过**运行可得：计算用时116.902487 seconds
解法3：采用示性函数积分方法，集合的示性函数定义为：
因此，很容易采用矩阵的逻辑运算方式定义区域的实行函数，又因为该圆珠可以放在立方体内，由在立方体上的积分就可以得到的体积。计算用时65.264352 seconds.
解法4：利用蒙特卡洛积分，在区间内按均匀分布规则书n个点，由落在区域内点的个数s，可以近似计算在中所占的比例，由得体积8，于是可以得到的近似值，计算用时为31.230011 seconds.
五、程序**。
1、人的升高和体重。
> w=[12,17,22,35,48,54,66,75];
> l=[0.86,1.08,1.16,1.35,1.55,1.67,1.78,1.85];
> k1=mean(w./l.^3)%估计方法1.k1 =
> k2=mean(w)/(mean(l))^3%估计方法2.k2 =
> plot(l,w,'o',l,k1*l.^3,'-k','linewidth',2);
> figure(2)
> xlabel('l')
> ylabel('w')
> plot(l,w,'o',l,k2*l.^3,'-k','linewidth',2);
> q1=(w-k1*l.^3)*(w-k1*l.^3)'%误差平方和q1=342.5765q1 =
> q2=(w-k2*l.^3)*(w-k2*l.^3)'%误差平方和q1=814.3192.q2 =
2、圆珠体积。
解法1：换成极坐标积分，采用符号函数积分。
> tic
> int(int(sym('2*r*sqrt(1-r^2)')0.1,1),0,2*3.14)
ans =(15543*11^(1/2))/12500
> vpa(ans,6)
ans =4.12402
> toc
elapsed time is 61.083812 seconds.
解法2：用累次积分公式。
> tic
> f=@(z)quad(@(r)r,0.1,sqrt(1-z.^2));
> n=40;
> x=linspace(0,sqrt(0.99),n);
> for j=1:n
f1(j)=4*3.14*f(x(j));
end> v1=trapz(x,f1)%梯形积分公式。v1 =
> toc
elapsed time is 116.902487 seconds.
解法3：采用示性函数积分方法。
> tic
> f2=@(x,y,z)((x.^2+y.^2+z.^2)<=1).*x.^2+y.^2)>=0.01);%示性函数。
> v2=triplequad(f2,-1,1,-1,1,-1,1)v2 =
> toc
elapsed time is 65.264352 seconds.
解法4：采用蒙特卡洛积分方法：
> tic
>a=unifrnd(-1,1,3,10000000);
> b=mean(((a(1,:)2+a(3,:)2)<=1).*a(1,:)2+a(2,:)2)>=0.01));
> v2=8*b%边长为2的立方体体积为8v2 =
> toc
elapsed time is 31.230011 seconds.
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