数学模型作业

如何施救药物中毒。

问题的调查与分析。

人体服用一定药物后，血药浓度与人体的血液总量有关。血液总量约为体重的7%到8%，即体重50~60kg的成年人有4000ml的血液。孩子的体重约为成年人的一半，其血液约为2000ml。

血液系统中的血药浓度与药量之间可以相互转换，血液系统的吸收率与胃肠道中药量呈正比，排除率与血液中药量呈正比。血液系统对药物的吸收和排除率可以由半衰期决确定。从说明书上可以看出，氨茶碱吸收的半衰期约为5h，排除的半衰期为6h。

临床施救方法一为口服活性炭，药物排除率为原来两倍。一为血液透析，药物排出率增加到原来六倍。

模型的假设与建立。

记孩子胃肠道中的药量为x（t）,,血液系统中的药量为y（t），**胃肠道中的药量为。时间t以孩子和**服药的时刻开始为起点，根据前面的调查分析，可以做出如下假设：

1胃肠道中的药物向血液系统中的转移率与药量x（t）成正比，比例系数为 λ 0)；总剂量1100mg的药物在t=0瞬间进入肠道。

2 血液系统中的药物的排除率与药量y（t）成正比，比例系数为α（ 0）；t=0时血液中无药物。

3 氨茶碱被吸收的半衰期为5h，排除的半衰期为6h；

4 孩子的血液总量为2000ml

由假设。模型求解。

由药物吸收半衰期5h得。

由药物排除半衰期6h得。

结果分析作图。

孩子总血液量2000ml，出现严重中毒和致命的血液中药量达到200mg和400mg，由图知约在两小时达到200mg，五小时到400mg。所以到医院时已经严重中毒，到医院三小时后致命。精确计算得到医院时药量为236.

5mg，到四百毫克时t=4.87h。达最大值药量时间约为8小时。

施救方案。采用活性炭，药物排出率为2α=0.2310

由前面可知y（2）=236.5，新模型中血液中药量为z（t）

作图。可看出z（t)达最大值时间约为t=5h，精确值t=5.26h,z(t)=318.4mg,远低于y（t）最大值和致命水平。

用这种方法仍有一段上升。如果要使施救后立即下降，则在z（t）在t=2时达最大值，算出想x（2）=833.7，由z（2）和λ值推出ɑ=0.4885.

7在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.

00元，二者单位重量的**比是1.2：1．试用比例方法构造模型解释这个现象．

（1）分析商品**c 与商品重量w 的关系．**由生产成本、包装成本和其它成本决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素．

（2）给出单位重量**c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小．解释实际意义是什么？

问题分析成本分为生产成本，包装成本和其他成本，生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本为定值。单位重量商品**为商品总**除以重量。

模型假设建立。

商品重量为w

把牙膏盒看做正方体。

包装面积s与w2/3呈正比。

商品成本为c

单位重量商品**为c

生产成本c1，包装成本c2，其他成本c3

a，b，c为大于零常数。

c1=c1+c2+c3 c1=as c2=bw s=c w2/3

模型求解。结果解释。

对c求导， <0,随着w增加，c不断减小，但是减小量也在不断减小，w很大时，c导数趋近于零，c不再减小。不能认为包装越大就越便宜。