数学模型作业

2007011207 无78王萌。

3.用量纲分析方法研究人体浸在匀速流动水里时损失的热量。记水的流速v，密度ρ，比热c，粘性系数μ，热传导系数k，人体尺寸d，正面人体与水的热交换系数h与上述物理量的关系可表为是未定函数，h定义为单位时间内人体的单位面积在人体与水温差为1℃时的热量交换。

解：设各物理量关系表示为f(h,v, ρc, μk,d)=01）

首先引入温度量纲c，写出各物理量的量纲：

h:mt-3c-1

v：lt-1

：l-3mc：l2t-2c-1

:l-1mt-1

k:lmt-3c-1

d:l写出量纲矩阵。

a4×7=a4×7秩为4，因此ay=0有3个基本解，分别为y1=（1,0,0,0,0,-1,1）t；y2=(0,1,1,0,-1,0,2)t;y3=(0,0,0,1,1,-1,0)t.

故令π1=hk-1d; π2=ρμ1dv; π3=μck-1,从而（1）式可写为f（π1，π2，π3）=0

变形得：1=ф(2，π3)即。

8.对于6.4节蛛网模型讨论下列问题：

1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的**，所以第k+1时段的**yk+1由第k+1和第k时段的数量xk+1和xk决定。如果设xk+1仍只取决于yk，给出稳定的平衡条件，并与6.4节的结果进行比较。

2）若除了yk+1由xk+1和xk决定之外，xk+1也由前两个时段的**yk和yk+1决定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。

解：(1)列出差分方程（假设yk+1由xk+1和xk的平均值决定）：

将两式合并，消掉yk和yk+1

特征方程，与6.4节的推广模型一致，可知其稳定的平衡条件为。

2)列出差分方程（假设yk+1由xk+1和xk的平均值决定，假设xk+1由yk和yk-1的平均值决定）

将两式合并，消掉yk-1,yk和yk+1

特征方程为：

为了使其稳定，其特征根的模应小于1，根据3次方程的相关理论，其条件是。