数学模型作业

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1）生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其它成本有一部分与重量和表面积成正比，而上述的三种成本也有与w和s均无关的成分。又因为形状固定时，存在，所以商品的**可以表示为c=w++a（均为大于0的常数）。

2），其简图为，

横轴为w，纵轴为c，显然c是w的减函数，随着c的增加，w逐渐减小，说明大包装比小包装便宜；曲线是下凸的，说明随着包装的增大单价的减少值逐渐降低，所以不能追求包装太大的商品。

设圆盘半径为1，矩形板材长宽分别为a、b。

方案一：如图1排列，可裁出的圆盘总数为。

m=[a/2][b/2]

图1方案二：如图2排列，设行数为m，列数为n，则。

m满足，于是，n满足：若[b]为奇数，则每一行圆盘数相同，均为。

[b]-1）/2；若b为偶数，则奇数行圆盘数为[b]/2，偶数行圆盘数为[b]/2-1。

圆盘总数为：

两个方案的优劣比较见下表（表中数字为m/n图2

当a b较大时，方案二由于方案一。

动物消耗的能量p主要用于维持体温，而体温热量主要通过身体表面散失，设身体表面积为s，动物体重为w，则有，又知道能量与全身的血流量q成正比，即，而q=qr，q为每次心跳泵出血流量，r为动物的心率。假设q与w成正比，于是有。综上可知，，可记为。

由表中数据估计得，，将实际数据与模型所求结果比较得下表：

由于模型假设过于粗糙，结果与实际相差比较大，不令人满意。

p79 61）当条件b成立时，，即条件a成立。

2）对于（3）式，，满足b条件，所以也满足a条件。

对于（5）式，

满足条件b，所以也满足条件a。

对于（7）式，满足条件b，所以也满足条件a。

3），a b分别表示消费者对商品甲、乙的偏爱程度。

4）若商品甲的**增加，其余条件不变，消费者均衡状态q点将左移。

5）若s增加，消费者的均衡状态将向右上方移动。

6）推广模型为max。

1） f(t)图形以（1/2,1/2）为中心对称，如右图1中，实线和虚线均为f(t)的图像。下面令f(t)为实线所示图形。

图12）由题意知，甲公司利润为，是常数。求p(x)的最大值有多种方法，下面用两种来求解：

1），因为，所以。记c是任意常数，则曲线族g(t)中与f(t) 相切的曲线的切点坐标为（如图2），而。

2）由f(t)~t图形作出图形（如图3），再作直线，在曲线上找一点m，其横坐标，使过m点的切线平行于h(x)，即为所求。

1）证明：如图重心提高 l

l 当s/l较小时）

s2)腿的转动惯量为，角速度，单位时间的步数为，所需动能为。

3）为使重心升高，单位时间内所做的功为，单位时间内行走所需的总功为，将带入得，，所以，当v一定时，时w最小。当时，得n=5~6，显然n过大，所以结果不合理。

4）修改后动能变为，同上题可得，该结果比上题合理。

1）向下滑行的阻力为，向上游动所需的力为，水平游动的阻力为。

2）沿折线acb运动所消耗的能量为，沿ab运动所需的能量为，所以，证毕。

3）令，，，所以有因为得，对于k=0.5,0.6,0.8，分别求出 61°，54°，38°。

09数基地王妍。