数学模型作业

2007011207 无78王萌。

7.要从雨中从一处沿直线跑道另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越烧。

将人体简化为一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.

2m。设跑步距离d=1000m，跑步最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h，记跑步速度为v。按以下步骤进行讨论：

1）不考虑雨淋的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与素的v及参数a，b，c, d, u, w,θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算θ=0，θ=30时的总淋雨量。

3）风从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为α，如图2，建立总淋雨量与素的v及参数a，b，c, d, u, w,θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算θ=30时的总淋雨量。

4）以总淋雨量为纵轴，速度为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。

5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？

解：1）身体面积s=2ab+2ac+bc=2.2m2，淋雨时间t=d/vm=200s，降雨量w=2cm/h=5.56*10-6m/s，所以总淋雨量q=stw=2.44l。

2）顶部淋雨量，淋雨速度为u*cos(θ)

q1=b*c*d*w*cos（θ）v

正面淋雨量：淋雨速度为u*sin(θ)v

q2=a*b*d*w*(u*sin(θ)v)/(u*v)

总淋雨量q=q1+q2=b*d*w*[c*u*cos(θ)a*(u*sin(θ)v)]/u*v)，在定义域是v的单调减函数，所以当v=vm时，q最小。经计算得：θ=0时，q=1.

15l。θ=30时，q=1.55l。

3）分两种情况，v>u*sin(α)人的前面淋雨；

v≤u*sin(α)人的背面淋雨。

不管怎样，淋雨速度总是|v-u*sin(α)总淋雨量。

v≤u*sin(α)

q=v>u*sin(α)

可以看出v≤u*sin(α)时q为单调减函数；

v>u*sin(α)时，若<0，为单调增函数，此时v=u*sin(α)为最小值点；否则，v=vm时为最小值点。α=30， <0，此时v=2m/s时，q=0.24l为最小，v=vm时，q=0.

93l。

4）<0时。

>0时，6）再计算侧面淋雨量即可，为一个d/v的线性函数，对（2）结果无影响，将影响(3)的结果。

8.甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费分别为x和y，设甲乙公司商品的销售量在两公司总销售量中的份额，是他们的广告费在总广告费中所占份额的函数f()和f().又设公司的收入与销售量成正比，从收入中扣除广告费后为公司的利润，试构造模型的图样，并讨论甲乙公司怎样确定广告费才能使利润最大。

1）令t=,则f(t)+f(1-t)=1。画出f(t)的示意图。

2）写出家公司利润的表达式p(x)。对于一定的y，使p(x)最大的x的最优值应满足什么条件。用**法确定这个最优值。

1）f(t)图形以(1/2,1/2)为中心对称，由图所示。

2）甲公司利润为p(x)=αf()-x, α是常数。设t=由p’(x*)=0可得f’(t*)=2,记c是任意常数。则曲线族g(t)= 中与f(t)相切的那一条曲线的切点为t*,可以算出x*.