1．了解数学归纳法原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
1．数学归纳法．
设是一个与自然数相关的命题集合，如果：①证明起始命题(p1或p0)成立；②在假设pk成立的前提下，推出pk＋1也成立，那么可以断定，对一切自然数成立．
2．用数学归纳法证题的步骤：
1)证明当n取第一个值n0(例如n0＝0或_n0＝1)时，命题正确；
2)假设n＝k(k≥n0，k∈n*)时命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确，即p(k＋1)为真；
3)根据(1)(2)知，当n≥n0且n∈n*时，p(n)正确．
想一想：(1)与正整数n无关的数学命题能否应用数学归纳法？
2)数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?
1)解析：不能．数学归纳法是证明与正整数n有关的数学命题的一种方法．
2)解析：数学归纳法的第一步中n0的初始值应根据命题的具体情况来确定，不一定是1.如用数学归纳法证明凸n边形的内角和为(n－2)·180°时，其初始值n0＝3.
1．用数学归纳法证明1＋q＋q2＋…＋qn＋1＝(n∈n*，q≠1)，在验证n＝1等式成立时，等式左边的式子是(c)
a．1 b．1＋q
c．1＋q＋q2 d．1＋q＋q2＋q3
解析：左边＝1＋q＋q1＋1＝1＋q＋q2.故选c.
2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是(c)
a．(2k＋1)＋(2k＋2) b．(2k－1)＋(2k＋1)
c．(2k＋2)＋(2k＋3) d．(2k＋2)＋(2k＋4)
解析：当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．故选c.
3．用数学归纳法证明：“(n＋1)(n＋2)·…n＋n)＝2n·1·3·…·2n－1)”．从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为(b)
a．2k＋1 b．2(2k＋1)
c. d.
解析：当n＝k时左端的第一项为(k＋1)，最后一项为(k＋k)．当n＝k＋1时，左端的第一项为(k＋2)，最后一项为(2k＋2)．∴左边乘以(2k＋1)(2k＋2)，同时还要除以(k＋1)．
1．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(b)
a．该命题对于n>2的自然数n都成立。
b．该命题对于所有的正偶数都成立。
c．该命题何时成立与k取值无关。
d．以上答案都不对。
解析：由n＝k时命题成立可推出n＝k＋2时命题也成立，又n＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选b.
2．等式12＋22＋32＋…＋n2＝(5n2－7n＋4)(b)
a．n为任何正整数都成立。
b．仅当n＝1，2，3时成立。
c．当n＝4时成立，n＝5时不成立。
d．仅当n＝4时不成立。
解析：经验证，n＝1，2，3时成立，n＝4，5，…不成立．故选b.
3．用数学归纳法证明某命题时，左式为＋cos α＋cos 3α＋…cos(2n－1)α(kπ，k∈z，n∈n*)，在验证n＝1时，左边所得的代数式为(b)
a. b.＋cos α
c.＋cos α＋cos 3α
d.＋cos α＋cos 3α＋cos 5α
解析：令n＝1，左式＝＋cos α.故选b.
4．用数学归纳法证明＋＋…假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是___
解析：观察不等式中分母的变化即可得结论．
答案：＋＋5．(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈n*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(a)
a．(k＋3)3 b．(k＋2)3
c．(k＋1)3 d．(k＋1)3＋(k＋2)3
解析：因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．
6．已知f(n)＝＋则(d)
a．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
b．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋
c．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
d．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋
解析：结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋
7．用数学归纳法证明当n∈n＋时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为1＋2＋22＋23＋24，从k→k＋1时需增添的项是25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4．
8．用数学归纳法证明等式1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈n*)的过程如下：
当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
假设n＝k(k≥1，且k∈n*)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.
则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②知，对任意n∈n*，等式成立．
上述证明错误的原因是没用上归纳假设．
9．证明不等式1＋＋＋2 (n∈n*)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2.左边＜右边，不等式成立．
2)假设当n＝k(k≥1且k∈n*)时，不等式成立．
即1＋＋＋2.
则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋2＋＝＜2.
当n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈n*都成立．
10．在数列中，a1＝1，an＋1＝(n∈n*)．
1)试求：a2，a3，a4的值；
2)由此猜想数列的通项公式an；
3)用数学归纳法加以证明．
1)解析：由a1＝1，an＋1＝，可得a2，a3，a4分别是，，
2)解析：由此可以猜想数列的通项公式an＝.
3)证明：①当n＝1时，a1＝＝1，猜想成立．
假设当n＝k(k≥1，k∈n*)时，猜想成立，即ak＝，则当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝
这说明当n＝k＋1时，猜想也成立．
由①②可知，猜想对一切的n∈n*都成立．
数学归纳法
在中学数学和练习学习的过程中，有一种很常见且基本的数学方法 数学归纳法，它不仅在中学学习数学有很大的帮助，而且在进一步学习及研究高等数学时也是很重要的方法之一，它在证明正整数有关的命题有独特之处，因此，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的...
2 3数学归纳法法
一。学习目标 1.了解数学归纳法的原理 2 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 二。重点 难点 重点 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。难点 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。三。使用说明 高二数学理科组编写，普高理科学生使用。四。学法指导 1.课前 预习课本，处理课前预习案。2.课中 导...
2 3数学归纳法
2 3 数学归纳法。知识目标 1 使学生进一步了解不完全归纳法属于合情推理，而由合情推理得出的一般结论未必正确。2 使学生了解归纳法，理解数学归纳的原理与实质 3 掌握数学归纳法证题的两个步骤 会用 数学归纳法 证明简单的与整数有关的数学命题 教学过程 一 创设问题情景，引导 问题1 1 数列 中 ...