一、选择题（每小题5分，共20分）
1．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈n*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )
a．一切正整数命题成立。
b．一切正奇数命题成立。
c．一切正偶数命题成立。
d．以上都不对。
2．在数列中，an＝1－＋－则ak＋1＝(
a．ak＋b．ak＋－
c．ak＋d．ak＋－
3.设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系是( )
a．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1
b．f(k＋1)＝f(k)＋k－1
c．f(k＋1)＝f(k)＋k
d．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2
4.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成( )
a．假设n＝2k＋1(k∈n*)正确，再推n＝2k＋3正确。
b．假设n＝2k－1(k∈n*)正确，再推n＝2k＋1正确。
c．假设n＝k(k∈n*)正确，再推n＝k＋1正确。
d．假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k＋2正确。
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝时，当n＝k＋1时左端在n＝k时的左端加上___
6．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×2n－1)，n∈n*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是___
三、解答题(共70分)
7.（15分）对于n∈n*，用数学归纳法证明：
1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…n－1)·2＋n·1＝n(n＋1)(n＋2)．
8.（20分）已知正项数列和中，a1＝a(0＜a＜1)，b1＝1－a.当n≥2时，an＝an－1bn，bn＝.
1)证明：对任意n∈n*，有an＋bn＝1；
2)求数列的通项公式．
9．(20分)数列满足sn＝2n－an(n∈n*)．
1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；
2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
10.（15分）已知点pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈n*)且点p1的坐标为(1，－1)．
1)求过点p1，p2的直线l的方程；
2)试用数学归纳法证明：对于n∈n*，点pn都在(1)中的直线l上．
2.3 数学归纳法答案。
一、选择题。
解析：本题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．
解析： a1＝1－，a2＝1－＋－an＝1－＋－ak＝1－＋－所以，ak＋1＝ak＋－.
c解析：当n＝k＋1时，任取其中1条直线，记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f(k)＋k＝f(k＋1)．
解析：首先要注意n为奇数，其次还要使n＝2k－1能取到1.
二、填空题。
5.(k2＋1)＋(k2＋2)＋…k＋1)2解析：n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…k＋1)2.
6.2(2k＋1)解析：当n＝k(k∈n*)时，左式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)；
当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…k＋1＋k－1)·(k＋1＋k) ·k＋1＋k＋1)，则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．
三、计算题。
7.证明：设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…n－1)·2＋n·1.
1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；
2)设当n＝k时等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…k－1)·2＋k·1＝k(k＋1)(k＋2)，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…k＋1)－2]·3＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1
f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)
k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋1＋1)
(k＋1)(k＋2)(k＋3)．
由(1)(2)可知当n∈n*时等式都成立．
8．解： (1)证明：用数学归纳法证明．
当n＝1时，a1＋b1＝a＋(1－a)＝1，命题成立；
假设n＝k(k≥1且k∈n*)时命题成立，即ak＋bk＝1，则当n＝k＋1时，ak＋1＋bk＋1＝akbk＋1＋bk＋1＝(ak＋1)·bk＋1＝(ak＋1)·＝1.
当n＝k＋1时，命题也成立．
由①、②可知，an＋bn＝1对n∈n*恒成立．
2)∵an＋1＝anbn＋1＝＝＝1，即－＝1.
数列{}是公差为1的等差数列，其首项为＝，＋n－1)×1，从而an＝.
9. 解：(1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，由此猜想an＝(n∈n*)．
2)证明：当n＝1时，a1＝1，结论成立．
假设n＝k(k≥1，且k∈n*)时，结论成立，即ak＝，那么n＝k＋1(k≥1，且k∈n*)时，ak＋1＝sk＋1－sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak
2＋ak－ak＋1.
2ak＋1＝2＋ak，ak＋1＝＝＝这表明n＝k＋1时，结论成立．
an＝(n∈n*)．
10. 解：(1)由p1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.
b2＝＝.a2＝a1·b2＝.
点p2的坐标为(，)
直线l的方程为2x＋y＝1.
2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．
假设n＝k(k∈n*，k≥1)时，2ak＋bk＝1成立，则当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝(2ak＋1)
＝＝1，当n＝k＋1时，命题也成立．
由①②知，对n∈n*，都有2an＋bn＝1，即点pn在直线l上．
数学归纳法
在中学数学和练习学习的过程中，有一种很常见且基本的数学方法 数学归纳法，它不仅在中学学习数学有很大的帮助，而且在进一步学习及研究高等数学时也是很重要的方法之一，它在证明正整数有关的命题有独特之处，因此，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的...
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