函数及其图像考试要求。
1．理解平面直角坐标系的有关概念，能熟练掌握点在各象限内、坐标轴上其坐标的特征，及关于坐标轴对称、关于原点对称的点的坐标特征。会求坐标轴上两点间的距离。
2．理解函数的意义，掌握求函数自变量取值范围的方法，会求函数值，掌握函数的三种表示方法。
3．理解正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的概念，掌握它们的性质，会画出它们的图象。
4．会根据函数的图象指出函数值随自变量的变化的情况，说出函数的主要性质。
5．会用待定系数法确定函数的解析式。
6．会用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴的方程，会判断开口方向。
7．理解一元二次方程、二次三项式与二次函数的关系。
要点解析。一、本章知识网络
二、复习要点。
1．直角坐标系．
1）定义．平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成了平面直角坐标系．
2）点与坐标．坐标平面内的点与有序实数对（坐标）是—一对应的．由坐标能很快找出对应点；由给定点能熟练地求出坐标．
3）特殊点的坐标．
象限点。象限点的关键是点的横、纵坐标的符号．
轴上点轴（横轴）上的点纵坐标恒为零； 轴（纵轴）上的点横坐标恒为零．
对称点借助几何上对称（轴对称，中心对称）的含义．轴对称，翻折180°重合；中心对称，旋转180°重合．
关于轴对称的点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点；横坐标互为相反数，纵坐标不变；
关于原点对称的点：横、纵坐标各互为相反数．
4）距离．点的坐标已知，它在坐标平面内的位置就确定，因而点到轴的距离及到点的距离都存在．
点到轴的距离是 ，到轴的距离是 ．
点到点的距离借助于勾股定理决定．
2．函数及其图像。
函数的有关概念．
1）常量和变量．常量和变量不是绝对的，而是相对的，在判断常量和变量时，切不可忽略在何变化过程中．
2）函数．设在一个变化过程中有两个变量与 ，如果对于的每一个值， 都有唯一的值与它对应，那么就说是自变量， 是的函数．
a．初中研究的函数实质上是研究变量间—一对应的关系．
b．任何含有一个字母（变量）的代数式都可以看作是这个字母的函数．
c．函数的定义存在，离不开自变量的取值范围．当对应关系由代数式的具体表达式确定时，自变量的取值要使代数式存在对应值；当变化过程是实际过程时，自变量的取值范围除考虑代数式外，还要使实际问题有意义．
3）函数及其图像．函数的图像是所有适合函数解析式的点的集合，含义是坐标适合函数解析式的点一定在此函数的图像上；函数图像上的点的坐标一定适合函数的解析式．
描点法作函数图像的三步是：列表、描点、连线．
函数的表示法：图像法、列表法、解析法．
3．一次函数的图象和性质。
4．正比例函数的图象和性质。
5．二次函数的图象和性质。
6．反比例函数的图象和性质。
典型例题。平面直角坐标系典型例题。
例1 已知点在第二象限，则的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
解：依题意，得解得 ，故应选d.
例2 在平面直角坐标系内，已知点在第三象限，且为整数，求的值。
解：∵点在第三象限，
解不等式（1）得 ，解不等式（2）得
不等式组的解集是 .
为整数，∴ 的值为1.
说明：在直角坐标系中，点与点的坐标是一一对应的，又整数作加、减、乘法运算结果仍是整数，因此要使点p的横坐标、纵坐标为整数，即要使为整数。
例3（1）若点a（a，b）在第三象限，则点q（-a+1，3b-5）在第象限；
2）若点b（m+4，m-1）在x轴上，则m= .
3）若点c（x，y）满足x+y＜0，xy＞0，则点c在第象限。
4）若点d（6-5m，m2-2）在第。
二、四象限夹角平分线上，则m= .
5）已知点和点关于y轴对称，则a= ，b= .
解：（1） 点a（a，b）在第三象限。
点q（-a+1，3b-5）在第四象限。
2） 点b（m+4，m-1）在x轴上。
3） xy＞0 同号。
x+y＜0， 均为负。
点c在第三象限。
4） 点d（6-5m，m2-2）在第。
二、四象限夹角平分线上，5） 点和点关于y轴对称，说明：这组填空题是点的坐标特征的应用，要记住点在四个象限内的符号特征，点在坐标轴上，一，三与二，四象限夹角平分线上的特征；点关于x轴，y轴，原点对称点的特征。
例4 已知点在第一象限内两坐标轴夹角的平分线上，则的值是___已知点在第二象限内两坐标轴夹角的平分线上，则的值是___若点在第。
一、三象限的角的平分线上，则与的关系是___若点在第。
二、四象限的角的平分线上，则 ， 的关系是___
解：分别填3；－3； ；或 ）.
说明：在第。
一、三象限角的平分线上的点的坐标是横、纵坐标相等，即 ；在第。
二、四象限角平分线上的点的坐标是横、纵坐标互为相反数，即 .
例5 已知点与点在同一条平行于x轴的直线上，且到y轴的距离等于4，那么点的坐标是（ ）
a．（4，2）或（－4，2） b．（4，－2）或（－4，－2）
c．（4，－2）或（－5，－2） d．（4，－2）或（－1，－2）
分析：因为点与点在同一条平行于x轴的直线上，所以 .又因为到y轴的距离等于4，所以或－4.应选b.
例6 如图所示，已知边长为1的正方形oabc在直角坐标系中，b，c两点在第二角限内，oa与x轴的夹角为60°，那么b点的坐标为___
分析：过b作轴于d.易知 .设ab与y轴的交点为e，且设 ，则 .在rt 中，由勾股定理得 .得 .所以 ， 因为b在第二象限，所以b点的坐标应为 .
说明：平面直角坐标系作为考题内容时，多是选择题、填空题等题型，今后平面直角坐标系作为中考内容仍然是上述两种题型。
函数及其图像典型例题。
例1 判断下列关系是不是函数关系？
1）长方形的宽一定时，其长与面积；
2）等腰三角形的底边长与面积；
3）某人的年龄与身高；
4）关系式| y |=x中的y与x.
分析：判断一个关系是不是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中，是不是有两个变量；第三要看自变量每取一个确定值，函数是不是都有唯一确定的值与它对应。
解：（1）长方形的宽一定时，其长所取的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与它对应，所以长与面积是函数关系。
2）因为三角形的面积受底和高两个因素的影响，当等腰三角形的底取一个定值时，它的面积又受高的影响，不能有唯一确定的值和底相对应，所以底边长与面积不是函数关系。
3）人的任意一个确定的年龄，都有唯一确定的身高与之相对应，所以某人的年龄与身高是函数关系。
（4）x每取一个正值，y都有两个值与它对应，所以| y | x不是函数关系。
说明：年龄与身高的变化不按某种规律，但某人每一个确定的年龄，必有唯一确定的身高和它相对应，因此函数关系是一定的，所以不要以为存在一定比例关系或一定规律，能用解析式表示的才是函数关系。
例2 汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距沈阳的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围。
分析：北京距沈阳850千米，汽车距沈阳的路程等于全程减去已行驶的路程，已行驶的路程等于速度乘以时间。解： 得
于是汽车距沈阳的路程s与时间t的函数关系式为 ，自变量t的取值范围是
例3 求下列函数中自变量x的取值范围：
分析：求自变量的取值范围，应考虑自变量的取值使函数解析式有意义。（1）、（2）小题函数解析式是整式，故自变量可取任意实数；（3）、（4）小题解析式是分式，自变量可取使分母不为0的任意实数；（5）、（7）、（8）小题的解析式是二次根式，自变量取值应使被开方数非负；（6）小题既有分母又有二次根式，自变量取值应使分母不为0，又要使二次根式的被开方数非负。
解：（1）函数的自变量x的取值范围是躯体实数。
2）函数的自变量x的取值范围是躯体实数。
当时，分母 ，函数的自变量的取值范围是 ；
4）由解得
当或时，分母 ，函数的自变量x 的取值范围是且
5）由解得 ，函数的自变量x的取值范围是 ；
6）由得 ，由得 ，当时，分母 ，函数的自变量x的取值范围是且 ；
即对于任意实数x， 都是非负的，函数的自变量x的取值范围是全体实数；
8）由得 因此，函数的自变量x的取值范围是 .
例4 一函数的图象如下图，根据图象：
（1）确定自变量x的取值范围；
（2）求当时，y的值；
3）求当时，对应的x的值；
4）当x为何值时，函数值y最大？
（5）当x为何值时，函数值y最小？
（6）当y随x的增大而增大时，求相应的x值在什么范围内？
（7）当y随x的增大而减小时，求相应的x值在什么范围内？
分析：函数图象上每一点的横坐标都是自变量x的一个值，自变量的取值范围就是图象上各点的横坐标的最小值到最大值，即图象上最左端点的横坐标到右端点的横坐标。函数y的最大值就是函数图象上最高点的纵坐标，函数的最小值就是函数图象上最低点的纵坐标。
函数图象从左到右，自变量x的值不大增大，此时，如果图象自下而上，那么函数值y在减小。
解： 1）自变量x的取值范围是
（2）当时，y = 3.3, 当时，y = 2的值；
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