18.1变量与函数（1）
一、创设情境[**：学科网]
在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．
问题1 如图是某地一天内的气温变化图．
看图回答：1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．
2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？解 (1)这天的6时、10时和14时的气温分别为℃；
2)这一天中，最高气温是5℃．最低气温是－4℃；
3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高．0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低．
从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温t(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？
二、**归纳。
问题2 银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2023年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：
观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的．
解随着存期x的增长，相应的年利率y也随着增长．
问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(khz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值：
观察上表回答：
1)波长l和频率f数值之间有什么关系？
2)波长l越大，频率f 就___
解 (1) l 与 f 的乘积是一个定值，即。
lf＝300 000，或者说。
2)波长l越大，频率f 就越小 ．
问题4 圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，s表示圆的面积则s与r之间满足下列关系：s**：z。xx。
利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：
由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就。
解 s＝πr2．
圆的半径越大，它的面积就越大．
在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温t，气温t随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable)．
上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量(independent variable)，y是因变量(dependent variable)，此时也称y是x的函数(function)．表示函数关系的方法通常有三种：
1)解析法，如问题3中的，问题4中的s＝π r2，这些表达式称为函数的关系式．
2)列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表．
3)图象法，如问题1中的气温曲线．
问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(constant)，如问题3中的300 000，问题4中的π等．
三、实践应用。
例1 下表是某市2023年统计的该市男学生各年龄组的平均身高。
1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗？
2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加？
3)上表反映了哪些变量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？
例2 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：
1)圆的周长c与半径r的关系式；
2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式；
3)n边形的内角和s与边数n的关系式．
四、交流反思。
1.函数概念包含：
1)两个变量；
2)两个变量之间的对应关系．
2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量．例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量．
3.函数关系三种表示方法：
1)解析法；[**：学#科#网]
2)列表法；
3)图象法．
五、检测反馈。
1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子．
2.分别指出下列各关系式中的变量与常量：
1)三角形的一边长5cm，它的面积s(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是；
2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β＝90－α
3)若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y（元）与x间的关系是：y＝ax．
3.写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：[**：学科网zxxk]
1)每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额y（元）与学生数n（个）的关系；
2)计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n（个）与单价a（元）的关系．
18.1变量与函数（2）
一、创设情境。
问题1 填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么？如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式．
解如图能发现涂黑的格子成一条直线．
函数关系式：y＝10－x．
问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．
解 y与x的函数关系式：y＝180－2x．
问题3 如图，等腰直角△abc的直角边长与正方形mnpq的边长均为10 cm，ac与mn在同一直线上，开始时a点与m点重合，让△abc向右运动，最后a点与n点重合．试写出重叠部分面积ycm2与ma长度x cm之间的函数关系式．
解 y与x的函数关系式：．
二、**归纳。
思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围．
2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？
分析问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围．
问题2，因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°．
问题3，开始时a点与m点重合，ma长度为0cm，随着△abc不断向右运动过程中，ma长度逐渐增长，最后a点与n点重合时，ma长度达到10cm．
解 (1)问题1，自变量x的取值范围是：1≤x≤9；
问题2，自变量x的取值范围是：0＜x＜90；
问题3，自变量x的取值范围是：0≤x≤10．[**：学科网]
2)当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4． 上面例子中的函数，都是利用解析法表示的，又例如：
s＝60t， s＝πr2．
在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，不必须使实际问题有意义．例如，函数解析式s＝πr2中自变量r的取值范围是全体实数，如果式子表示圆面积s与圆半径r的关系，那么自变量r的取值范围就应该是r＞0．
对于函数 y＝x(30－x)，当自变量x＝5时，对应的函数y的值是。
y＝5×(30－5)＝5×25＝125．
125叫做这个函数当x＝5时的函数值．
三、实践应用。
例1 求下列函数中自变量x的取值范围：(1) y＝3x－1； (2) y＝2x2＋7；(3)； 4)．
分析用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值．例如，在(1)，(2)中，x取任意实数，3x－1与2x2＋7都有意义；而在(3)中，x＝－2时，没有意义；在(4)中，x＜2时，没有意义．[**：学。科。
网。归纳四个小题代表三类题型．(1)，(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式．
例2 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：
1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y(元)关于用电度数x的函数关系式；
2)已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x(cm)，求底边上的高y(cm)关于x的函数关系式；
3)在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环．设圆环的面积为s(cm2)，求s关于r的函数关系式．
例3 在上面的问题(3)中，当ma＝1 cm时，重叠部分的面积是多少？
例4 求下列函数当x = 2时的函数值：
1)y = 2x-5 ； 2)y =－3x2 ；
分析函数值就是y的值，因此求函数值就是求代数式的值．[**：z,xx,四、交流反思[**：学科网]
1.求函数自变量取值范围的两个依据：
1)要使函数的解析式有意义．
函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；
函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；
函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．
2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．
2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．
五、检测反馈。
1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：
1)一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到的新正方形周长为y cm．求y和x间的关系式；
2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式；
3)矩形的周长为12 cm，求它的面积s(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm时这个矩形的面积．
2.求下列函数中自变量x的取值范围：
1)y＝－2x－5x2； (3) y＝x(x＋3)；
3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t（秒）滑下的距离s（米）由下式给出：s＝10t＋2t2．假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？
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