第38章尺规作图。
一、选择题。
1. （2011浙江绍兴，8，4分）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接。若的周长为10，，则的周长为（ ）
a.7b.14c.17d.20
答案】c二、填空题。
三、解答题。
1. （2011江苏扬州，26,10分）已知，如图，在rt△abc中，∠c=90，∠bac的角平分线ad交bc边于d。
1）以ab边上一点o为圆心，过a，d两点作⊙o（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线bc与⊙o的位置关系，并说明理由；
2）若（1）中的⊙o与ab边的另一个交点为e，ab=6，bd=, 求线段bd、be与劣弧de所围成的图形面积。（结果保留根号和）
答案】（1）如图，作ad的垂直平分线交ab于点o，o为圆心，oa为半径作圆。
判断结果：bc是⊙o的切线。连结od。
∵ad平分∠bac ∴∠dac=∠dab
oa=ododa=∠dab
∠dac=∠oda ∴od∥ac ∴∠odb=∠c
∠c=90odb=90 即：od⊥bc
od是⊙o的半径 ∴ bc是⊙o的切线。
2) 如图，连结de。
设⊙o的半径为r，则ob=6-r，在rt△odb中，∠odb=90， 0b2=od2+bd2 即：(6-r)2= r2+()2
r=2 ∴ob=4 ∴∠obd=30，∠dob=60
△odb的面积为，扇形ode的面积为。
阴影部分的面积为—。
2. （2011山东滨州，23，9分）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△abc恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠a与∠b有怎样的数量关系时才能完成以上作图？
并举例验证猜想所得结论。
1）如图①△abc中，∠c=90°，∠a=24°
作图：猜想：
验证：2）如图②△abc中，∠c=84°，∠a=24°.
作图：猜想：
验证：答案】
1)①作图：痕迹能体现作线段ab(或ac、或bc)的垂直平分线，或作∠acd=∠a(或∠bcd=∠b)两类方法均可，在边ab上找出所需要的点d，则直线cd即为所求………2分。
猜想：∠a+∠b=90°，…4分。
验证：如在△abc中，∠a=30°，∠b=60°时，有∠a+∠b=90°，此时就能找到一条把△abc恰好分割成两个等腰三角形的直线。……5分。
2）答：①作图：痕迹能体现作线段ab(或ac、或bc)的垂直平分线，或作∠acd=∠a或**段ca上截取cd=cb三种方法均可。
在边ab上找出所需要的点d，则直线cd即为所求………6分。
猜想：∠b=3∠a………8分。
验证：如在△abc中，∠a=32°，∠b=96，有∠b=3∠a，此时就能找到一条把△abc恰好分割成两个等腰三角形的直线。……9分。
3. （2011山东威海，20，8分）我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心．
1）如图①，△abc≌△def，△def能否由△abc通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．图①
2）如图②，△abc≌△mnk，△mnk能否由△abc通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．
（保留必要的作图痕迹）
图图②答案】 解：（1）能，点就是所求作的旋转中心．
图图②1）能，点就是所求作的旋转中心．
4. （2011浙江杭州，18，6）四条线段a，b，c，d如图，a：b：c：d＝1：2：3：4．
1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法)；
(2)任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率．
答案】(1)只能取b,c,d三条线段，作图略。
2) 四条线段中任取三条共有四种等可性结果：（a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d），其中能组成三角形的只有（b，c，d），所以以它们为边能作出三角形的概率是．
5. （2011四川重庆，20，6分）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个**喷泉，要求**喷泉m到广场的两个入口a、b的距离相等，且到广场管理处c的距离等于a和b之间距离的一半，a、b、c的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作出**喷泉m、位置．(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)
答案】6. （2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点a、b、c。
1）请完成如下操作：
以点o为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心d的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结ad、cd。
2）请在（1）的基础上，完成下列问题：
写出点的坐标：cd
⊙d的半径结果保留根号）；
若扇形adc是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为结果保留π）；
若e（7，0），试判断直线ec与⊙d的位置关系并说明你的理由。
答案】（1）
c（6，2），d（2，0）
相切。理由：∵cd=，ce=，de=5
cd2+ce2=25=de2
∠dce=90°即ce⊥cd
ce与⊙d相切。
7. （2011重庆江津， 23，10分）a、b两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点a的坐标是(2,2),点b的坐标是(7,3).
1)一辆汽车由西向行驶，在行驶过程中是否存在一点c,使c点到a、b两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标。
2)若在公路边建一游乐场p,使游乐场到两校距离之各最小，通过作图在图中找出建游乐场的位置，并求出它的坐标。
答案】(1)存在满足条件的点c: 作出图形，如图所示，作图略；
（2）作出点a关于x轴的对称点a/(2,-2), 连接a/b，与x轴的交点即为所求的点p.
设a/b所在的直线的解析式为： y=kx+b, 把a/(2,-2), b(7,3)分别代入得：
解得：·所以： y=x-4·
当y=0时，x=4,所以交点p为（4，0）·
8. (2011重庆綦江，19，6分)为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点p，使p到该镇所属a村、b村、c村的村委会所在地的距离都相等(a、b、c不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点p的位置。
要求： 写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．
解：已知：求作：
答案】：解：已知：a、b、c三点不在同一直线上。
求作：一点p，使pa＝pb＝pc.
或经过a、b、c三点的外接圆圆心p)
正确作出任意两条线段的垂直平分线，并标出交点p
9. (2011江苏南京，27，9分)如图①，p为△abc内一点，连接pa、pb、pc，在△pab、△pbc和△pac中，如果存在一个三角形与△abc相似，那么就称p为△abc的自相似点．
如图②，已知rt△abc中，∠acb=90°，∠acb＞∠a，cd是ab上的中线，过点b作be⊥cd，垂足为e，试说明e是△abc的自相似点．
在△abc中，∠a＜∠b＜∠c．
如图③，利用尺规作出△abc的自相似点p（写出作法并保留作图痕迹）；
若△abc的内心p是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
答案】解：⑴在rt △abc中，∠acb＝90°，cd是ab上的中线，，∴cd=bd．
∠bce＝∠abc．∵be⊥cd，∴∠bec＝90°，∠bec＝∠acb．∴△bce∽△abc．
e是△abc的自相似点．
①作图略．
作法如下：（i）在∠abc内，作∠cbd＝∠a；
ii）在∠acb内，作∠bce＝∠abc；bd交ce于点p．
则p为△abc的自相似点．
连接pb、pc．∵p为△abc的内心，∴，
p为△abc的自相似点，∴△bcp∽△abc．
∠pbc＝∠a，∠bcp＝∠abc=2∠pbc =2∠a，acb＝2∠bcp=4∠a．∵∠a+∠abc+∠acb＝180°．
∠a+2∠a+4∠a＝180°．
．∴该三角形三个内角的度数分别为、、．
10．（2011江苏无锡，26，6分）(本题满分6分)如图，等腰梯形mnpq的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°。正方形abcd的边长为1，它的一边ad在mn上，且顶点a与m重合。现将正方形abcd在梯形的外面沿边mn、np、pq进行翻滚，翻滚到有一个顶点与q重合即停止滚动。
(1)请在所给的图中，用尺规画出点a在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；
(2)求正方形在整个翻滚过程中点a所经过的路线与梯形mnpq的三边mn、np、pq
所围成图形的面积s。
答案】解：(1)如右图所示3分)
(2)s = 2[π·12 +π2 + 1 +π12]
= +26分)
11. （2011重庆市潼南，19,6分）画△abc,使其两边为已知线段a、b，夹角为。
要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不。
写作法）.已知：
求作：答案】已知：线段a、b 、角1分。
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