特殊三角形的竞赛题：三角形abc是等边三角形，d是三角形abc外的一点，bd＝dc,角bdc＝120度，m,n是ab,ac上两点，角mdn＝60度，求证bm＋cn＝mn。
解析：例3如图2-8-3，在△abc中，ab=ac，∠a=100°,作∠b的平分线与ac边交于e，求证：bc=ae+be。
思路要想办法把ae+be替换成一条线段a，然后只需证明bc=a。
证明延长be到f，使ef=ae，连结fc，作∠bec的平分线交bc于g，由ab=ac，∠bac=100°，可知∠abe=∠cbe=20°因而∠aeb=∠geb=60°于是△aeb≌△geb则有eg=ea=ef
又由∠gec=∠fec=60°所以△gec≌△fec
所以∠efc=∠egc=180°－100°=80°从而∠bcf=80°故bc=bf=ae+be
例5如图2-8-5，在△abc中，bf⊥ac，cg⊥ab，垂足分别是f、g，d是bc的中点，de⊥fg，垂足是e。求证：ge=ef。
1. 等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为14 和18 两部分，求三。
角形各边的长。(28/3,28/3,40/3;12,12,8)
2. 如图，在三角形abc中，解析：延长交于一点f，求出∠fbe=∠fca=22.5
bad全等于△caf
bd=cf；再证明△fbc为等腰三角形，三线合一，e为中点，所以cf＝２ce
得证。3.已知在abc 中，ad是bc边上的中线，e是ad上一点，且be=ac，延长be交。
ac于f，求证：af=ef。
解析：延长ad到g，证明adc全等于gdb
则对应边角相等：bg=ac==be
所以对顶角等四个角相等，等角对等边，得证。
5、设标有a、b、c、d、e、f、g记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现在a、c、e、g4盏灯开着，其余3盏灯是关的，小岗从灯a开始，顺次拉动开关，即从a到g，再顺次拉动开关，即又从a到g，…，他这样拉动了1999次开关后，则开着的灯是（b）
a、解析：1999/7=285 4/7,故前四盏拉了286次，后三盏灯拉了285次；拉动偶数次，灯的开关与原来相同，故选b
6. 如图，△abc是一个等边三角形，它绕着点p旋转，可以与等边。
abd重合，则这样的点p有___3___个。
7. 如图，△abc中，∠ａ30°以be为边，将此三角形对折，其次，又以ba为边，再一次对折，c点落在be上，此时∠cdb＝82°，则原三角形的∠b＝__78___度。
11、的三边长皆为整数，且；当为等腰三角形时，它的面积有（ ）种可能。
a．7b．8c．9d．10
3、如图，d为等腰△abc底边bc的中点，e、f分别为ac及其延长线上的点．又已知∠edf = 90°，ed = df = 1，ad = 5．求线段bc的长．
解析：作dg⊥ac于g，得△abd与△adg为相似变换，又dg=1/2ef=，由勾股定理得ag=，从而bd=，bc=；
11.若直角三角形的两个锐角之差为10°，则较大的锐角的度数为 50 °
14.如图，△abc是边长为2的等边三角形，点d是bc边上的任意点，de⊥ab于e点，df⊥ac于f点，则de+df= 根号3 .
解析：等边三角形内一点到三边距离之和等于三角形的高。
6．△abc中，∠acb=90°，cd⊥ab，垂足是d，e是ab的中点，如果ab=10，bc=5，那么ce=__5___a=__30__，b=__60___dce=__30___de=__2.5___
16．如图4所示，△abc中，ab=ac，过ac上一点作de⊥ac，ef⊥bc，若∠bde=140°，则∠def=（ c ）
a）55° （b）60° （c）65° （d）70°
20．如图所示，已知△abc中，ab=6，ac=9，ad⊥bc于d，m为ad上任一点，则mc2-mb2等于（ c ）
a）9 （b）35 （c）45 （d）无法计算。
6、等腰三角形的底角为15度，腰长为2a，则三角形的面积为 a2 。
15、在△abc中，三条边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n＞0）。那么△abc是直角三角形吗？请说明理由。
解析：勾股定理的逆定理。
9.如图9，折叠矩形纸片abcd，先折出折痕（对角线）bd，再折叠，使ad落在对角线bd上，得折痕dg，若ab = 2，bc = 1，求ag.
12.用一张矩形纸，如图12，矩形abcd纸对折，设折痕为mn，再把b点叠在折痕线上，得到rt△abe，沿着eb线折叠，得到△eaf（如图13）。判断△eaf的形状。
若ab=3，求ef.
2024年八年级数学上竞赛试题附答案
班级 姓名得分。说明 本试卷考试时间90分钟，满分100分。一 选择题 每小题4分，共20分 1 等腰三角形中一腰上的中线把三角形周长分为12和15两部分，则腰长是 a 10 b 10或8 c 10或7 d 8或11 2 已知一次函数的图像与轴交于点，且随的增大而减小，则的值为 a 2 b 4 c ...
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