2024年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学 》模拟试卷2
解答。一、填空题：
详解】 。答案】 应填。
2、已知曲线与x轴相切，则可以通过a表示为。
详解】，设切点为，则，即，又切点在曲线上，所以，，
答案】 应填。
3、设二元函数，则。
详解】，所以 .
答案】 应填。
4、设四阶方阵a与b相似，矩阵a的特征值为，则行列式。
详解】 由已知a与b相似，则a与b的特征值相同，即b的特征值也为，从而的特征值为，的特征值为，答案】 应填24。
5、已知实二次型。
经正交变换可化成标准形，则。
详解】，，答案】 应填2.
6、设随机变量x服从参数为的二项分布，随机变量y服从参数为的二项分布，若，则。
详解】，所以，所以 .
答案】 应填。
二、选择题：
1、设对任意的x，总有，且，则【 】
a) 存在且等于零 (b) 存在但不一定为零c) 一定不存在 (d) 不一定存在。
详解】反例：，。
答案】 选 (d)。
2、设，则。
a)是的极值点，但不是曲线的拐点。
b)不是的极值点，但是曲线的拐点。
c)是的极值点，也是曲线的拐点。
d)不是的极值点，也不是曲线的拐点。
详解】 由于是二次函数加绝对值符号，图形不难画出，由图可直接判断，是的极小值点，也是曲线的拐点。
答案】 选 (c)。
3、设常数，且级数收敛，则级数。
a) 条件收敛 (b) 绝对收敛 (c) 发散 (d) 敛散性与有关。
分析】 这里所讨论的级数虽然是交错级数，但由于没有明确的表达式，故难用莱布尼兹定理，从而只好考虑其是否绝对收敛。
详解】 由基本不等式可知，由于和都是收敛的，由比较审敛法可知，收敛，从而原级数绝对收敛。
答案】 应选(b).
4、设有两个n维向量组和，若存在两组不全为零的数和，使，则【 】
a)和都线性相关。
b)和都线性无关。
c)线性相关。
d)线性无关。
详解】 将所给式子改写为。
而和两组数均不全为零，故线性相关。
答案】 选 (c)。
5、设两个随机变量x与y同分布，概率密度函数为。
若，则。a）2bcd）
解 ， 答案】 选（b）。
三、解答题：
1、设，试讨论在处的连续性和可导性。
详解】 连续性： ，所以，即在处连续。
可导性： 所以，即在处可导，且。
2、设在处连续，且，求。
详解】 由可知，，即，又当时，，所以。
由可知，，因此。
3、设函数满足，，且，，求。
详解】 由，，得，且，，解方程得。
4、设闭区域为d上连续函数，且。
求。解：记，对上式在d上两边积分，得。
其中 5、设二次型，中二次型的矩阵a的特征值之和为1，特征值之积为，1）求的值；
2）利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。
详解】 （1）二次型f的矩阵为。
设a的特征值为，由题设，有。
解得。2) 由矩阵a的特征多项式，得a的特征值。
对于，解齐次线性方程组，得其基础解系，
对于，解齐次线性方程组，得基础解系。
由于已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将单位化，由此得，
令矩阵。则q为正交矩阵。 在正交变换下，有。
且二次型的标准形为
6、已知线性方程组。
问各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多组解？在有无穷多组解的情形下，试求出一般解。
详解】 1）当时，，方程组有唯一解；
2）当时，当且时，方程组无解；
当且时，方程组有无穷多组解，通解为。
其中k为任意常数。
7、假设随机变量x和y同分布，x的概率密度为。
1) 已知事件和独立，且，求常数a ；
2) 求的数学期望。
详解】(1) 因x和y同分布，所以，又a和b独立，所以，于是 ，解得 ；
即 ， 所以 。
四、应用题：
1、一商家销售某种商品的**满足关系(万元/吨)，x为销量(单位：吨)，商品的成本函数是(万元)，1) 每销售一吨商品，**要征税t (万元)，求该商家获得最大利润时的销售量；
2) 在此销售量情形下，t为何值时，**税收总额最大？
详解】 (1) 设总税额为t，则，销售总收入为 ，所以利润函数为 ，令，得唯一驻点，因为，所以即为利润最大时的销售量；
(2) 将代入总税额t，则。
令，得唯一驻点，又由于，所以时总税额最大。
2、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将1/6熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践，至年终考核有2/5成为熟练工。设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记成向量，1) 求与的关系式并写成矩阵形式：；
2) 验证，是a的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；
3) 当时，求及。
解：(1)由题设有 ，化简为。
于是 ;2)直接计算得 ，，即为a的特征向量，相应的特征值分别为，;
记 ，因为，所以线性无关；
3) ，下面计算：
由 ，有，于是，又 ，所以 ，因此 。
3、一商店经销某种商品，每周进货的数量x与顾客对该种商品的需求量y是相互独立的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润1000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂**，这时每单位商品获利润为500 元。试计算此商店每周所得利润的期望值。
详解】由x与y是相互独立且都服从[10,20]上的均匀分布，得(x, y)的联合概率密度。
以z表示“商店每周所得的利润”，则。
所以期望利润为。
元).五、证明题：
1、设函数在上连续，在内可导，且，，试证必存在，使。
详解】在上连续，则在上也连续，于是在上必有最大值m和最小值m，因而，，，从而。
由介值定理，存在，使，而，即，
由罗尔定理知，存在，使。
2、设a是m阶实对称阵且正定，b为实矩阵，试证：为正定阵的充分必要条件是。
证：必要性设为正定阵，则对任意实n维向量，有，即，可见，这就是说，齐次线性方程组只有零解，因此b列满秩，即；
充分性：因为，可见为实对称阵。将上述过程逆推，即可得证。
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