1.（09年．嘉兴中考）如图，已知a、b是线段mn上的两点，，，以a为中心顺时针旋转点m，以b为中心逆时针旋转点n，使m、n两点重合成一点c，构成△abc，设．
1）求x的取值范围；
2）若△abc为直角三角形，求x的值；
3）**：△abc的最大面积？
解：1）在△abc中，∵，解得． 4分。
2）①若ac为斜边，则，即，无解．
若ab为斜边，则，解得，满足．
若bc为斜边，则，解得，满足．
或． 9分。
3）在△abc中，作于d，设，△abc的面积为s，则．
若点d**段ab上，则．，即．，即．
（）．11分。
当时（满足），取最大值，从而s取最大值． 13分。
若点d**段ma上，则．
同理可得，
），易知此时．
综合①②得，△abc的最大面积为． 14分。
2.（09年。兰州中考）如图①，正方形 abcd中，点a、b的坐标分别为（0，10），（8，4），
点c在第一象限．动点p在正方形 abcd的边上，从点a出发沿a→b→c→d匀速运动，
同时动点q以相同速度在x轴正半轴上运动，当p点到达d点时，两点同时停止运动，
设运动的时间为t秒．
1)当p点在边ab上运动时，点q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点q开始运动时的坐标及点p运动速度；
2)求正方形边长及顶点c的坐标；
3)在（1）中当t为何值时，△opq的面积最大，并求此时p点的坐标；
4)如果点p、q保持原速度不变，当点p沿a→b→c→d匀速运动时，op与pq能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
解：（1）（1，0） 1分。
点p运动速度每秒钟1个单位长度． 2分。
2） 过点作bf⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，．
在rt△afb中3分。
过点作⊥轴于点，与的延长线交于点．
∴△abf≌△bch．
所求c点的坐标为（14，124分。
3） 过点p作pm⊥y轴于点m，pn⊥轴于点n，则△apm∽△abf．
设△opq的面积为（平方单位）
（0≤≤10） 5分。
说明：未注明自变量的取值范围不扣分．
∵<0 ∴当时， △opq的面积最大． 6分。
此时p的坐标为（，）7分。
4） 当或时， op与pq相等． 9分。
对一个加1分，不需写求解过程．
3.（09年。杭州中考）已知平行于x轴的直线与函数和函数的图象分别交于点a和点b，又有定点p（2，0） .
1）若，且tan∠pob=，求线段ab的长；
2）在过a，b两点且顶点在直线上的抛物线中，已知线段ab=，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；
3）已知经过a，b，p三点的抛物线，平移后能得到的图象，求点p到直线ab的距离 .
解：（1）设第一象限内的点b（m,n），则tan∠pob，得m=9n，又点b在函数的图象上，得，所以m=3（－3舍去），点b为，而ab∥x轴，所以点a（，）所以；
2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点a（a , a），b（，a），则ab=－ a =,所以，解得。
当a = 3时，点a（―3，―3），b（―，3），因为顶点在y = x上，所以顶点为（－，所以可设二次函数为，点a代入，解得k= －所以所求函数解析式为。
同理，当a =时，所求函数解析式为；
3）设a（a , a），b（，a），由条件可知抛物线的对称轴为。
设所求二次函数解析式为： .
点a（a , a）代入，解得，，所以点p到直线ab的距离为3或。
4.（09年。 青岛中考）如图，在梯形abcd中，，，点由b出发沿bd方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段ef由dc出发沿da方向匀速运动，速度为1cm/s，交于q，连接pe．若设运动时间为（s）（）解答下列问题：
1）当为何值时，？
2）设的面积为（cm2），求与之间的函数关系式；
3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．
4）连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由．
解：（1）∵
而，．当． 2分。
2）∵平行且等于，四边形是平行四边形．
过b作，交于，过作，交于．，．
又， 6分。
若，则有，解得． 9分。
4）在和中，在运动过程中，五边形的面积不变． 12分。
5.（09年。台州中考）如图，已知直线交坐标轴于两点，以线段为边向上作。
正方形，过点的抛物线与直线另一个交点为．
1）请直接写出点的坐标；
2）求抛物线的解析式；
3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止．设正方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；
4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积．
解：（12分。
（2）设抛物线为，抛物线过，解得2分。
1分。3）①当点a运动到点f时，
当时，如图1，∵，
；……2分。
②当点运动到轴上时，当时，如图2，
∴，…2分）
当点运动到轴上时，当时，如图3，
2分）解法不同的按踩分点给分）
4）∵,2分）
1分）6.（09年。金华中考）如图，在平面直角坐标系中，点a（0，6），点b是x轴上的一个动点，连结ab，取ab的中点m，将线段mb绕着点b按顺时针方向旋转90o，得到线段bc.
过点b作x轴的垂线交直线ac于点d.设点b坐标是（t，0）.
1）当t=4时，求直线ab的解析式；
2）当t>0时，用含t的代数式表示点c的坐标及△abc的面积；
3）是否存在点b,使△abd为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点b的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）当t=4时，b(4,0)
设直线ab的解析式为y= kx+b .
把 a(0,6)，b(4,0) 代入得：
解得： ,直线ab的解析式为：y=－x+64分。
2) 过点c作ce⊥x轴于点e
由∠aob=∠ceb=90°，∠abo=∠bce，得△aob∽△bec.，be= ao=3，ce= ob=，点c的坐标为(t+32分。
方法一：s梯形aoec= oe·(ao+ec)= t+3)(6+)=t2+t+9，s△ aob= ao·ob=×6·t=3t，s△ bec= be·ce=×3×= t，s△ abc= s梯形aoec－ s△ aob－s△ bec
t2+t+9－3t－t = t2+9.
方法二：ab⊥bc，ab=2bc，∴s△ abc= ab·bc= bc2.
在rt△abc中，bc2= ce2+ be2 = t2+9，即s△ abc= t2+92分。
3)存在，理由如下：
当t≥0时。
.若ad＝bd.
又∵bd∥y轴。
∠oab=∠abd，∠bad=∠abd，∠oab=∠bad.
又∵∠aob=∠abc，△abo∽△acb，=，t=3，即b(3，0).
.若ab＝ad.
延长ab与ce交于点g，又∵bd∥cg
ag＝ac过点a画ah⊥cg于h．
ch＝hg＝cg
由△aob∽△geb，得＝，ge= .
又∵he＝ao＝６，ce＝
t2-24t-36=0
解得：t=12±6. 因为 t≥0，所以t=12＋6，即b(12＋6，0).
.由已知条件可知，当0≤t<12时，∠adb为钝角，故bd ≠ ab.
当t≥12时，bd≤ce∴当t≥0时，不存在bd＝ab的情况。
当－3≤t<0时，如图，∠dab是钝角。设ad=ab，过点c分别作ce⊥x轴，cf⊥y轴于点e，点f.
可求得点c的坐标为(t+3，)，cf=oe=t+3，af=6－，由bd∥y轴，ab=ad得，bao=∠abd，∠fac=∠bda，∠abd=∠adb
∠bao=∠fac，又∵∠aob=∠afc=90°，△aob∽△afc，∴，t2-24t-36=0
解得：t=12±6.因为－3≤t<0，所以t=12－6，即b (12－6，0).
当t<－3时，如图，∠abd是钝角。设ab=bd，过点c分别作ce⊥x轴，cf⊥y轴于点e，点f，可求得点c的坐标为(t+3，)，cf= －t+3)，af=6－，ab=bd，∠d=∠bad.
又∵bd∥y轴，∠d=∠caf，∠bac=∠caf.
又∵∠abc=∠afc=90°，ac=ac，△abc≌△afc，af＝ab，cf=bc，af=2cf，即6－=－2(t+3)，解得：t=－8，即b(－8，0).
综上所述，存在点b使△abd为等腰三角形，此时点b坐标为：
b1 (3，0)，b2 (12＋6，0)，b3 (12－6，0)，b4(－8，04分。
7.（09年义乌。中考）．已知点a、b分别是轴、轴上的动点，点c、d是某个函数图像上的点，当四边形abcd（a、b、c、d各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。
例如：如图，正方形abcd是一次函数图像的其中一个伴侣正方形。
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