2024年全国中考数学压轴题精选精析（四）
37.（09年黑龙江牡丹江）28．（本小题满分8分）
如图，在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且。
（1）求的值．
（2）若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？
（3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
09年黑龙江牡丹江28题解析）解：（1）解得。
1分。在中，由勾股定理有。
1分。2）∵点在轴上，1分。
由已知可知d（6，4）
设当时有。解得。
1分。同理时， 1分。
在中，在中，1分。
3）满足条件的点有四个。
4分。说明：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，可参照本评分标准酌情给分。
38.（09年黑龙江齐齐哈尔）28．（本小题满分10分）
直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．
1）直接写出两点的坐标；
2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；
3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．
09年黑龙江齐齐哈尔28题解析）（1）a（8，0）b（0，6） 1分。
点由到的时间是（秒）
点的速度是（单位/秒） 1分。
当**段上运动（或0）时，1分。
当**段上运动（或）时，如图，作于点，由，得， 1分。
1分。自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）
3） 1分。
3分。注：本卷中各题，若有其它正确的解法，可酌情给分．
39.（09年黑龙江绥化）28．(本小题满分lo分)
09年黑龙江绥化28题解析）
40.（09年湖北鄂州）27．如图所示，将矩形oabc沿ae折叠，使点o恰好落在bc上f处，以cf为边作正方形cfgh，延长bc至m，使cm＝｜cf—eo｜，再以cm、co为边作矩形cmno
1)试比较eo、ec的大小，并说明理由。
2)令，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由。
3)在(2)的条件下，若co＝1，ce＝，q为ae上一点且qf＝，抛物线y＝mx2+bx+c经过c、q两点，请求出此抛物线的解析式。
(4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c与线段ab交于点p，试问在直线bc上是否存在点k，使得以p、b、k为顶点的三角形与△aef相似？若存在，请求直线kp与y轴的交点t的坐标？若不存在，请说明理由。
09年湖北鄂州27题解析）（1）eo＞ec，理由如下：
由折叠知，eo=ef，在rt△efc中，ef为斜边，∴ef＞ec， 故eo＞ec …2分。
2）m为定值。
s四边形cfgh=cf2=ef2－ec2=eo2－ec2=(eo+ec)(eo―ec)=co·(eo―ec)
s四边形cmno=cm·co=|ce―eo|·co=(eo―ec) ·co
4分。3）∵co=1， ∴ef=eo=
cos∠fec= ∴fec=60°，△efq为等边三角形5分。
作qi⊥eo于i，ei=，iq=
io= ∴q点坐标为6分。
抛物线y=mx2+bx+c过点c(0，1)， q ，m=1
可求得，c=1
抛物线解析式为7分。
4）由（3），当时，＜ab
p点坐标为8分。
bp=ao方法1：若△pbk与△aef相似，而△aef≌△aeo，则分情况如下：
时，∴k点坐标为或。
时， ∴k点坐标为或………10分。
故直线kp与y轴交点t的坐标为。
12分。方法2：若△bpk与△aef相似，由（3）得：∠bpk=30°或60°，过p作pr⊥y轴于r，则∠rtp=60°或30°
当∠rtp=30°时，当∠rtp=60°时，12分。
41.（09年湖北恩施州）24.如图，在中，∠°的面积为，点为边上的任意一点(不与、重合)，过点作∥，交于点．设以为折线将△翻折，所得的与梯形重叠部分的面积记为y.
1）．用x表示ade的面积；
2）．求出﹤≤时y与x的函数关系式；
3）．求出﹤﹤时y与x的函数关系式；
4）．当取何值时，的值最大？最大值是多少？
09年湖北恩施州24题解析）解：(1) ∵de∥bc ∴∠ade=∠b,∠aed=∠c
ade∽△abc ∴
即3分。2)∵bc=10 ∴bc边所对的三角形的中位线长为5
当0﹤ 时6分。
3）﹤10时，点a'落在三角形的外部，其重叠部分为梯形。
s△a'de=s△ade=
∴de边上的高ah=ah'=
由已知求得af=5
a'f=aa'-af=x-5
由△a'mn∽△a'de知。
9分。4）在函数中。
0﹤x≤5当x=5时y最大为10分。
在函数中。当时y最大为11分。
当时，y最大为12分。
42.（09年湖北黄冈）20．(满分14分)如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线与x轴的交点为点b,过点b作x轴的平行线bc,交抛物线于点c,连结ac．现有两动点p,q分别从o,c两点同时出发，点p以每秒4个单位的速度沿oa向终点a移动，点q以每秒1个单位的速度沿cb向点b移动，点p停止运动时，点q也同时停止运动，线段oc,pq相交于点d,过点d作de∥oa,交ca于点e,射线qe交x轴于点f．设动点p,q移动的时间为t(单位：秒)
1)求a,b,c三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；
2)当t为何值时，四边形pqca为平行四边形？请写出计算过程；
3)当0＜t＜时，△pqf的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；
4)当t为何值时，△pqf为等腰三角形？请写出解答过程．
09年湖北黄冈20题解析）解：（1），令得，或1′
在中，令得即；……2′
由于bc∥oa，故点c的纵坐标为－10，由得或。
即且易求出顶点坐标为3′
于是，，顶点坐标为。……4′
2）若四边形pqca为平行四边形，由于qc∥pa。故只要qc=pa即可，而故得；……7′
3）设点p运动秒，则，，说明p**段oa上，且不与点oa、重合，由于qc∥op知△qdc∽△pdo，故。
又点q到直线pf的距离，∴，于是△pqf的面积总为9010′
4）由上知，，。构造直角三角形后易得。
1 若fp=pq，即，故，11′
2 若qp=qf，即，无的满足条件；……12′
3 若pq=pf，即，得，∴或都不满足，故无的满足方程13′
综上所述：当时，△pqr是等腰三角形14′
43.（09年湖北黄石）25．（本小题满分10分）
正方形在如图所示的平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在轴的负半轴上，交轴正半轴于交轴负半轴于，，抛物线过三点．
1）求抛物线的解析式；（3分）
2）是抛物线上间的一点，过点作平行于轴的直线交边于，交所在直线于，若，则判断四边形的形状；（3分）
3）在射线上是否存在动点，在射线上是否存在动点，使得且，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．（4分）
09年湖北黄石25题解析）解：（1）依条件有，．
由知．由得．
将的坐标代入抛物线方程，得．
抛物线的解析式为． 3分。
2）设，，．
设，则，（舍去）
此时点与点重合，则为等腰梯形． 3分。
3）在射线上存在一点，在射线上存在一点．
使得，且成立，证明如下：
当点如图①所示位置时，不妨设，过点作，，，垂足分别为．
若．由得：又。
2分。当点在如图②所示位置时，过点作，垂足分别为．
同理可证．又， 1分。
当在如图③所示位置时，过点作，垂足为，延长线，垂足为．
同理可证． 1分。
注意：分三种情况讨论，作图正确并给出一种情况证明正确的，同理可证出其他两种情况的给予4分；若只给出一种正确证明，其他两种情况未作出说明，可给2分，若用四点共圆知识证明且证明过程正确的也没有讨论三种情况的．只给2分．
44.（09年湖北荆门）25．(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x轴交于a(m－2，0)，b(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为c，且ac⊥bc．
1)若m为常数，求抛物线的解析式；
2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？
3)设抛物线交y轴正半轴于d点，问是否存在实数m，使得△bcd为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
09年湖北荆门25题解析）解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)2－4a．……2分。
ac⊥bc，由抛物线的对称性可知：△acb是等腰直角三角形，又ab＝4，c(m，－2)代入得a＝．∴解析式为：y＝(x－m)2－25分。
亦可求c点，设顶点式)
2)∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y＝(x－m)2－2顶点在坐标原点7分。
3)由(1)得d(0，m2－2)，设存在实数m，使得△bod为等腰三角形．
△bod为直角三角形，∴只能od＝ob9分。
m2－2＝|m＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝－2(舍)．
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