中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题。
许术利。近几年中考数学中运动几何问题倍受青睐，它不仅综合考查初中数学骨干知识，如三角形全等与相似、图形的平移与旋转、函数（一次函数、二次函数与反比例函数）与方程等，更重要的是综合考查初中基本数学思想与方法。此类题型也往往起到了考试的选拔作用，使学生之间的数学考试成绩由此而产生距离，所以准确快速解决此类问题是赢得中考数学胜利的关键。
如何准确、快速解决此类问题呢？关键是把握解决此类题型的规律与方法――以静制动。
另外，需要强调的是此类题型一般起点低，第一步往往是一个非常简单的问题，考生一般都能拿分，但恰恰是这一步问题的解题思想和方法是本题基本的做题思想和方法，是特殊到一般数学思想和方法的具体应用，所以考生在解决第一步时不仅要准确计算出答案，更重要的是明确此题的方法和思路。
下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。
一、利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题。
例1：（北京市石景山区2024年数学期中练习）在△abc中，∠b=60°,ba=24cm,bc=16cm,1)求△abc的面积；
(2)现有动点p从a点出发，沿射线ab向点b方向运动，动点q从c点出发，沿射线cb也向点b方向运动。如果点p的速度是4cm/秒，点q的速度是2cm/秒，它们同时出发，几秒钟后，△pbq的面积是△abc的面积的一半？
3)在第（2）问题前提下，p,q两点之间的距离是多少？
点评：此题关键是明确点p、q在△abc边上的位置，有三种情况。
1）当0﹤t≦6时，p、q分别在ab、bc边上；
2）当6﹤t≦8时，p、q分别在ab延长线上和bc边上；
3）当t >8时， p、q分别在ab、bc边上延长线上。
然后分别用第一步的方法列方程求解。
例2: (北京市顺义2024年初三模考)已知正方形abcd的边长是1，e为cd边的中点， p为正方形abcd边上的一个动点，动点p从a点出发，沿a →b → c →e运动，到达点e.若点p经过的路程为自变量x，△ape的面积为函数y
1）写出y与x的关系式。
2)求当y＝时，x的值等于多少？
点评：这个问题的关键是明确点p在四边形abcd边上的位置，根据题意点p的位置分三种情况：分别在ab上、bc边上、ec边上。
例3：(北京市顺义2024年初三模考)如图1 ，在直角梯形abcd中，∠b=90°，dc∥ab，动点p从b点出发，沿梯形的边由b→c → d → a 运动，设点p运动的路程为x ,△abp的面积为y , 如果关于x 的函数y的图象如图2所示 ，那么△abc 的面积为（ ）
a．32 b．18 c．16 d．10
例4：（09齐齐哈尔）直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．（1）直接写出两点的坐标；
2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；
3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．
点评：本题关键是区分点p的位置：点p在ob上，点p在ba上。
例5：（2009宁夏）已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．
1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；
2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
解：（1）过点作，垂足为．则，当运动到被垂直平分时，四边形是矩形，即时，四边形是矩形，秒时，四边形是矩形．
2）当时，
当时， 当时，
点评：此题关键也是对p、q两点的不同位置进行分类。
例6：（2009四川乐山）．如图（15），在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．
1）求边的长；
2）当为何值时，与相互平分；
3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？
6. 解：（1）作于点，如图（3）所示，则四边形为矩形．
又 2分。在中，由勾股定理得：
2）假设与相互平分．由则是平行四边形（此时在上）．
即解得即秒时，与相互平分．
3）①当在上，即时，作于，则。
即= 当秒时，有最大值为。
当在上，即时，=
易知随的增大而减小．故当秒时，有最大值为。
综上，当时，有最大值为。
二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。
例7：（包头）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
1）如果点p**段bc上以3厘米/秒的速度由b点向c点运动，同时，点q**段ca上由c点向a点运动．
若点q的运动速度与点p的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
若点q的运动速度与点p的运动速度不相等，当点q的运动速度为多少时，能够使与全等？
2）若点q以②中的运动速度从点c出发，点p以原来的运动速度从点b同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点p与点q第一次在的哪条边上相遇？
解：（1）①∵秒，∴厘米，厘米，点为的中点，∴厘米．
又∵厘米，∴厘米，∴．
又∵，∴∵， 又∵，，则，点，点运动的时间秒，∴厘米/秒．
2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒．
点共运动了厘米．，∴点、点在边上相遇，∴经过秒点与点第一次在边上相遇．
例8：（09济南）如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．
1）求的长．
2）当时，求的值．
3）试**：为何值时，为等腰三角形．
解：（1）如图①，过、分别作于，于，则四边形是矩形。
在中， 在，中，由勾股定理得，2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形。
由题意知，当、运动到秒时，
∴又。∴即解得，
3）分三种情况讨论：①当时，如图③，即∴
当时，如图④，过作于。
解法一：由等腰三角形三线合一性质得。
在中，又在中，∴解得。
∴∴即∴ 当时，如图⑤，过作于点。
解法一：（方法同②中解法一）
解得。解法二：
即∴综上所述，当、或时，为等腰三角形。
例9：（呼和浩特）如图，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠abc＝90，ab＝12cm，ad＝8cm，bc＝22cm，ab为⊙o的直径，动点p从点a开始沿ad边向点d以1cm/s的速度运动，动点q从点c开始沿cb边向点b以2cm/s的速度运动，p、q分别从点a、c同时出发，当其中一点到达端。
点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．
1)当t为何值时，四边形pqcd为平行四边形？
2)当t为何值时，pq与⊙o相切？
解：(1)∵直角梯形。
当时，四边形为平行四边形．
由题意可知：，当时，四边形为平行四边形．
2）解：设与相切于点过点作垂足为。
直角梯形。由题意可知：
为的直径，为的切线。
在中，即： 7分。
因为在边运动的时间为秒，而（舍去）
当秒时，与相切．
例10. (2009山东淄博) 如图，在矩形abcd中，bc=20cm，p，q，m，n分别从a，b，c，d出发沿ad，bc，cb，da方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若bq=xcm()，则ap=2xcm，cm=3xcm，dn=x2cm．
1）当x为何值时，以pq，mn为两边，以矩形的边（ad或bc）的一部分为第三边构成一个三角形；
2）当x 为何值时，以p，q，m，n为顶点的四边形是平行四边形；
3）以p，q，m，n为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
解：1）当点p与点n重合或点q与点m重合时，以pq，mn为两边，以矩形的边（ad或bc）的一部分为第三边可能构成一个三角形．
当点p与点n重合时，舍去）．因为bq+cm=，此时点q与点m不重合．所以符合题意．
当点q与点m重合时，此时，不符合题意．故点q与点m不能重合．
所以所求x的值为．
2）由（1）知，点q 只能在点m的左侧，当点p在点n的左侧时，由，解得．
当x=2时四边形pqmn是平行四边形．
当点p在点n的右侧时，由， 解得．
当x=4时四边形nqmp是平行四边形．所以当时，以p，q，m，n为顶点的四边形是平行四边形．
3）过点q，m分别作ad的垂线，垂足分别为点e，f．由于2x>x，所以点e一定在点p的左侧．
若以p，q，m，n为顶点的四边形是等腰梯形， 则点f一定在点n的右侧，且pe=nf，即．解得．
由于当x=4时， 以p，q，m，n为顶点的四边形是平行四边形，所以，以p，q，m，n为顶点的四边形不能为等腰梯形．
第一是以静化动，把问的某某秒后的那个时间想想成一个点，然后再去解，第二是对称性，如果是二次函数的题，一定要注意对称性。第三是关系法：你可以就按照图来，就算是图画的在不对，只要你把该要的条件列成一些关系，列出一些方程来。
中等的动点题也就没问题了。但是在难一点的动点题就要你的能力了，比如让你找等腰三角形的题，最好带着圆规，这样的题你要从三个顶点考虑，每一条边都要想好，然后再求出来看看在不在某个范围内。
1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想。
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