中档题型训练(六) 直角三角形的应用。
解直角三角形的应用是怀化市中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解．
仰角、俯角问题。
例1】(2015东营中考)热气球的探测器显示，从热气球底部a处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球a处与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高？(≈1.
732，结果保留小数点后一位)
解析】作ad⊥bc构造rt△求解．
学生解答】1．(2015黄石中考)如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点a到最高点b的距离为10，a，b两点正前方有垂直于地面的旗杆de.在a，b两点处用仪器测量旗杆顶端e的仰角分别为60°和15°.(仰角即视线与水平线的夹角)
1)求ae的长；
2)已知旗杆上有一面旗在离地1米的f点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？
2．(2015达州中考)学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度ab，其测量步骤如下：
1)在中心广场测点c处安置测倾器，测得此时山顶a的仰角∠afh＝30°；
2)在测点c与山脚b之间的d处安置测倾器(c、d与b在同一直线上，且c、d之间的距离可以直接测得)，测得此时山顶上红军亭顶部e的仰角∠egh＝45°；
3)测得测倾器的高度cf＝dg＝1.5米，并测得cd之间的距离为288米；已知红军亭高度ea为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度ab.( 取1.
732，结果保留整数)
方位角问题。
例2】(2014邵阳中考)一艘观光游船从港口a处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至c处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号．一艘在港口正东方向b处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船c处所需的大约时间．(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.
6)学生解答】3．(2015攀枝花中考)如图所示，港口b位于港口o正西方向120km处，小岛c位于港口o北偏西60°的方向．一艘游船从港口o出发，沿oa方向(北偏西30°)以vkm/h的速度驶离港口o，同时一艘快艇从港口b出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛c，在小岛c用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．
1)快艇从港口b到小岛c需要多长时间？
2)若快艇从小岛c到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口o的距离．
坡度、坡比问题。
例3】(2015内江中考)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树de的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭的台阶上a点处测得树顶端d的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点c处，测得树顶端d的仰角为60°.已知a点的高度ab为3米，台阶ac的坡度为1∶ (即ab∶bc＝1∶)，且b，c，e三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树de的高度(测倾器的高度忽略不计)．
学生解答】4．(2014烟台中考)小明坐于堤边垂钓，如图，河堤ac的坡角为30°，ac的长为米，钓竿oa的倾斜角是60°，其长为3米，若oa与钓鱼线ob的夹角为60°，求浮漂b与河堤下端c之间的距离．
生活中的解直角三角形问题。
例4】(2015绍兴中考)如图，伞不论张开还是收紧，伞柄ap始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠bac，当伞收紧时，结点d与点m重合，且点a、e、d在同一条直线上，已知部分伞架的长度(单位：cm)如下：
(1)求am的长；
2)当∠bac＝104°时，求ad的长(精确到1cm)．
备用数据：sin52°≈0.788，cos52°≈0.6157，tan52°≈1.2799)
学生解答】5．(2015重庆中考)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形abcd，其中ab∥cd，大坝顶上有一瞭望台pc，pc正前方有两艘渔船m，n.观察员在瞭望台顶端p处观测到渔船m的俯角α为31°，渔船n的俯角β为45°.已知mn所在直线与pc所在直线垂直，垂足为e，且pe长为30米．
1)求两渔船m，n之间的距离(结果精确到1米)；
2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡ad的坡度i＝1∶0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底ba加宽后变为bh，加固后背水坡dh的坡度i＝1∶1.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？
参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52)
相似三角形与圆。
例5】(2015六盘水中考)如图，在rt△acb中，∠acb＝90°，点o是ac边上的一点，以o为圆心，oc为半径的圆与ab相切于点d，连接od.
1)求证：△ado∽△acb；
2)若⊙o的半径为1，求证：ac＝ad·bc.
学生解答】6．(2015遂宁中考)如图，ab为⊙o的直径，直线cd切⊙o于点d，am⊥cd于点m，bn⊥cd于点n.
1)求证：∠adc＝∠abd；
2)求证：ad2＝am·ab；
3)若am＝，sin∠abd＝，求线段bn的长．
2019中考王中考命题研究数学 中档题型训练 7
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