第１２期黄根联：新课程高考创新题型剖析３５
黄根联。职业技术学校浙江浦江３２２
近几年全国各地高考试题逐渐强调创新意识和应用意识的考查，强调理论与实践相统一．一些新颖的试题背景、类型在近几年的试卷中从无到。
这４个维修点的这批配件分别调整为４ｏ，件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要。
完成上述调整，最少的调动件次（１７件配件从一个有，从粗糙到精致，这些变化都体现了高考命题在。
有意识地将新课程的理念落实到高考试题中．最近。
几年的新课程高考变革，在稳定中求发展，在渐变中求提升．既重视了基础知识、基本思想方法的考。
查；又重视了数学本质、数学文化、数学精神的体。
现．命题专家精心设计了一批有特色、有味道、有思想的新颖、别致的能力型考题．
结论开放，培养学生的**精神。
开放”是相对于“封闭”而言的，传统数学题。
多属封闭型．譬如一种明确的条件，一种确定的结论，甚至连解答过程和方法都是确定的．开放题与。
此相异．有的有明确的条件而无明确的结论，甚至连结果存在与否也不知道；有的有明确结论而无明确的条件，甚至连条件是否存在还不知道．研究性学习逐步在数学学科中渗透，它的精髓是开放式教。
学，在高考中的体现就是开放性试题，体现了数学活动的开放性和非常规化，以及活动过程中的**性、实践性和创新性，是高考数学原创题命制的方向之一．一般考试题目的开放度是比较小的，这有。
利于评价的度的把握．开放可以分为条件开放、结论开放、解答方式多样等．
侈４１ 已知函数．厂（）＝一似一给出以下３个条件：
１）存在 。∈使得一 ）≠厂（３）厂（０）成立；
３）在区间［一ｎ，＋上是增函数．
若）同时满足条件—和—填入２
个条件的编号），则ｆ（）的一个可能的解析式为。
＝一。分析当满足条件（１）和（２）时，ｙ：一。
＋１ｉ等；当满足条件（１）和（３）时，ｙ＝
ｌ等；满足条件（２）和（３）时，ｙ＝一９ｌ等．
例２如图ｌ是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给ａ，ｂ这４个维修点某种配件各５ｏ件，在使用前发现需将ａ，ｂ维修点调整到相邻维修点的调动件次为凡）为。
图１图２分析由图２，可得厂应选ｃ．
**将上述选择题改：勾**题：
１）请设计一个调动件次最少的方案，并说明。
理由；２）请找出调动件次最少的所有方案并说明理由．
点评本题的背景是运筹学问题，可以给出如。
下方程组解法：
设 —ｂ件数为 （当 ＜０时，为，以下同），ｂ为 ：件，ｃ—为 ３件，ｄ
为件，则。ｏ一一。
ｏ一。ｏ一。
这里，４个未知数满足３个独立方程，因此无法解。
出这４个未知数．由基本量思想，可用表示 ，与 ４，解得。
故调动总件数为。
一ｌ０ｌ其最小值为ｌ６．
定义新知。重视学生的创新意识。
重视创新意识和实践能力的培养，这是增加到。
６中学教研（数学）２０年。
新大纲中的一项重要目的和基本原则．新大纲对创新意识和实践能力的含义作了必要的阐释，并提供。
）；赛道的后一部分为折线段ｍｎｐ为保证参。
赛运动员的安全，限定ｖｐ＝
１）求ａ，∞的值和点ｍ，ｐ间的距离；
２）应如何设计，才能使折线段赛道ｍｎｐ最。
长？了“实习作业”、“研究性课题”等教育手段和一些。
具体的教学方法．在此类题目中，将创新元素具体地落实到新定义、新运算中，与新课标理念完全吻合，也是高考命题的热点和必然趋势．
例３在ｒ上定义运算口＋ｂ，分析（１）依题意得。一。个。
则满足 ｏ（一２）＜的实数的取值范围为。
一２，１．（一∞，一一１，２
分析根据定义得。
（一２）＝一２）＋一２）＝
一２＜０解得一２＜
故选ｂ．点评本题为定义新运算型试题，正确理解新定义是解题的关键．只要译出条件，就能转化为一。
元二次不等式求解．
素材改编，探求教材内容新意。
以某些传统内容为载体进行适当改编，并赋予新意，设计出一些新颖的题目是近几年高考的一大亮点．此类试题形式新颖、解法多样．而新情境的创设是原创的，对所有学生都是公平的，同时还能较。
好地考查学生的综合能力，备受命题者的青睐．
又由 ＝，得∞＝詈，ｏ从而。
一 ）’图４
从而：ｓｉｉｎ（一０），故。
ｉｎ（一 ）：
伽）＝。一。
又因为０。＜所以当０＝３时，折线段赛道。
ｎｐ最长，即将／＿．设计为３０￣时，折线段道。
ｎｐ最长．点评三角函数与实际应用性问题是近几年。
新课程高考命题的一个热点．
立意深刻，挖掘学生的学习潜能．
近几年来，高等数学的基本恿想、基本方法和。
基本问题为高考试题的命制提供了新的背景和新。
的思路．例６如图５，在平面直角坐标系中，．ｆ是一个与轴的正半轴、ｙ轴的正半轴分别相切于点ｃ，ｄ
第１２期黄根联：新课程高考创新题型剖析３７
的定圆所围成的区域（含边界），ａ是该圆。
的四等分点．若点ｐ（，点ｐ （满足 ≤且 ≥）则称点ｐ优于点ｐ ．如果中的点ｑ满足：不存在力中的其他点优于点ｑ，那么所有这样的点ｑ组成的集合是劣弧。
则ｍａｘ詈詈，，詈）＝，此时ｚ＝１仍成立．但ａａｂ不为等边三角形，所以选项ｂ正确．
点评集合和常用逻辑用语中的信息问题也。
不例外．这方面试题的破解一要认真审题，二要结合集合、常用逻辑用语的意义．信息交汇问题因为涉及到的知识背景新颖，因此对考生而言更具公平。
分析由题意知，若点ｐ
优于点户 ，则点ｐ在点ｐ 的－、
左上方．因为当点ｑ在ｄａ上。
时，左上的点不在圆上，不存在其他优于点ｑ的点，所以点ｑ组成的集合是劣弧．应。图５选ｄ．
点评本题是新定义图形的一种解析几何模。
型的新颖题，实质是借助定义，确定点ｑ形成的图。
形，然后恰当地选择．
信息交汇，培养学生的转换能力。
信息试题是高考数学试题的创新源，信息题就是根据文字、图表、图形等给出的数据信息，通过整理、加工、处理等手段去解决实际问题的一类题目．在解答信息题时，首先要仔细阅读题目所提供的材。
料，从中捕捉有关信息（譬如数据间的关系与规律图像的形状特点、变化趋势等），然后对这些信息进行加工处理，并联系相关数学知识，从而实现信。
息的转换，使问题顺利获解．
例７ 记实数，，…以中的最大数为。
最小数为。已知ａａｂ的３条边长为定义。
它的倾斜度为。
＝ｍａ詈，ｂ，詈）‘ｍ詈，，詈），则“ｚ＝是“ａａ为等边三角形”的。
．充分而不必要的条件ｃ．必要而不充分的条件ｂ．充要条件。
．既不充分也不必要的条件。
分析若ａａｂ为等边三角形，即ａ＝ｂ则。
ａ一，ｂ，詈）＝＝詈，，詈），因此ｚ＝１若ａａｂ为等腰三角形，得。
性，破解时更需独立思考以分析、解决问题．
例８若数列｛ａ 满足：对任意的ｎ∈ｎ只有有限个正整数ｍ使得ａｍ＜成立，记这样的ｍ的个数为（ａ 则得到一个新数列｛（ａ例。
如，若数列｛ａ 是则数列｛（ａ是０，１一１，…已知对任意的则（ａ 一。分析。
本题以数列为背景，通过创设适度开。
放，引导考生进行适度的推理探索，此类题型可以。
说是新课标高考数学试题的一大亮点．答案为２，凡。
点评高考命题对数学思维能力作了新的阐释，它不但包含了原大纲提到的三大数学能力，即。
逻辑思维能力、空间想象能力与计算能力，而且将。
其扩展为直观感知、观察发现、归纳类比、空问想。
象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎。
证明、反思与构建等思维能力．这些正显示了对数学**能力的更高要求，这一点不仅说明了我国对数学问题的研究在高考的促进下有了一定的发展，也为今后的教学指明了新的方向．６创设情境体现学生能力差异。
一。些综合型的情境创设能给学生一个很好的。
施展才华、发挥能力的机会．高考是为高校招生而。
进行的选拔性考试，而此类以能力立意的创新试题非常适合设计一些既体现数学学科特点，又考查继续学习潜能的试题．既能很好地体现新课标的理念，又有利于实现数学高考的选拔功能，可谓一箭双雕．
例９甲、乙２人用４张扑克牌（分别是红桃，红桃３，红桃４，方片４）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽１张．
１）设（，）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙２人抽到的牌的所有情况．
２）若甲抽到红桃３，则乙抽出的牌面数字比。
８中学教研（数学）
大的概率是多少？
而ｙ ≠于是。
３）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则乙胜．你认为此游戏是否公平，故点ｐ（ｘ的所有“相关弦”的中点的横坐标都是一２．
说明你的理由．
分析 （１甲、乙２人抽到的牌的所有情况（方片４用４ 表示）为共有１２种不同情况．
２）由第（１）小题知，弦ａｂ所在直线的方程是。
一＝ｋ（代入ｙ ：中，整理得。
２）甲抽到３，乙抽到的牌只能是２，４因此。
２［ｋ一）一２］ｘ一）＝ｏ
则 ，是方程（１）的２个实根，且。
乙抽到的牌的数字大于３的概率为÷．
３）甲抽到的牌比乙大有。
共５种．甲胜的概率ｐ ＝乙。
获胜的概率为ｐｉ因为 ＜ｉ所以此游戏不。
公平．例１ｏ若ａ，曰是抛物线ｙ ＝上不同的２个点，弦ａｂ（不平行于ｙ轴）的垂直平分线与轴相交于点ｐ，则称弦ａｂ是点ｐ的一条“相关弦”．已知当 ＞２时，点ｐ（ｘ存在无穷多条“相关弦”．给定‰＞２
１）求证：点ｐ（ｘ的所有“相关弦”的中点的横坐标相同．
２）试问：点ｐ（ｘ的“相关弦”的弦长中是。
否存在最大值？若存在，求其最大值（用 。表示）；
若不存在，请说明理由．
分析此题是一道综合创新题，结合了新定。
义、探索性等创新元素．
１）设ａｂ为点ｐ（。的任意一条“相关弦”，且点ａ，ｂ的坐标分别是则。
两式相减得一。
因为 ｌ≠所以＋ｙ２设直线ａｂ的斜率为七，弦ａｂ的中点是ｍ（ｘ则。
：ｌ二 ： 一 ２
从而ａｂ的垂直平分线ｆ的方程为。
—一＝一＿＝一 （＝一戈ｍ
又由点ｐ（ｘ在直线上，得。
一ｍ 一—一。
：一 （。一 ），一）
设点ｐ的“相关弦”ａｂ的弦长为ｚ，则。
。＝（一。１＋ｋ一 ２）
（ｘ０一１）一［＿ｙ一２（ｘ一３）］
因为。所以设ｔ＝，得记ｆ＝ｇ
一。ｔ一若 。＞则。
一８），因此当ｔ＝２一３），即 ２＝一３）时，ｚ有最大。
值为２（ｘ一１）．
若２＜‰则。
（ｘｏ一１）≤在区间（０，一８）上是减函数，所以。
＜ｚ＜一２），不存在最大值．
综上所述，当ｘｏ＞时，点ｐ（。的“相关。
弦”的弦长中存在最大值，且最大值为２（一１）；
当２＜ 时，点ｐ（，的“相关弦”的弦长中不存在最大值．
高考试题对创新意识的考查，主要是要求考生不仅能理解一些概念、定义，掌握一些定理、公式，更重要的是能够应用这些知识和方法解决数学和。
现实生活中比较新颖的问题．数学教育的目的不只。
是让学生掌握一些知识，也不是把每个学生都培养。
成数学家，而是把数学作为材料和工具，通过数学。
的学习和训练，在知识和方法的应用中提高综合能力和基本素质．形成科学的世界观和方**．因此，高考试题加强对创新意识的考查，其意义已超出了。
数学学习，对提高学习和工作能力、对今后的人生。
都有重要的意义．
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