（原创、首发、专投稿，适合高。
二、高三年级11月份用，同意删改）
高考数学创新题分类**。
贵州省龙里中学洪其强（551200）
一、建构数列型：数列作为特殊的函数，在高考数学中占有相当重要的位置，主要涉及增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，建立起等差、等比、或递推数列的模型来解题．
例1 （2023年朝阳区高三统一练习（二））2023年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2023年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化。
ⅰ）设该县的总面积为1，2023年底绿化面积为，经过年后绿化的面积为试用表示；
ⅱ）求数列的第项；
解析 （ⅰ设现有非绿化面积为，经过年后非绿化面积为于是依题意：是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积减去被非绿化部分后剩余的面积，另一部分是新绿化的面积于是=+
数列是公比为首项的等比数列。
二、信息迁移型：信息迁移题指的是不便于直接运用所学数学知识解决问题，而需要从所给材料中获取信息，并用于新问题解决的一类问题．这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体．
信息迁移型题可分为定义信息型、图表信息型、 图形图像信息型等。
1．定义信息型。
例1 定义运算，复数z满足，则复数在的模为。
abcd．
解析由得，故选c。
例2 （2001上海22）对任意函数f(x), x∈d，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
输入数据x0∈d，经数列发生器输出x1=f(x0)；
若x1d，则数列发生器结束工作；若x1∈d，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去。现定义。
1）若输入x0=，则由数列发生器产生数列，请写出的所有项；
2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；
3）若输入x0时，产生的无穷数列，满足对任意正整数n均有xn＜xn+1；求x0的取值范围。
解析 （1）∵f(x)的定义域d=（–1)∪(1,+∞
数列只有三项，
2）∵,即x2–3x+2=0 ∴x=1或x=2，即x0=1或2时。
故当x0=1时，xn=1，当x0=2时，xn=2（n∈n*）
3）解不等式，得x＜–1或1＜x＜2
要使x1＜x2，则x2＜–1或1＜x1＜2
对于函数，若x1＜–1，则x2=f(x1)＞4，x3=f(x2)＜x2；
若1＜x1＜2时，x2=f(x1)＞x1且1＜x2＜2，依次类推可得数列的所有项均满足xn+1＞xn（n∈n*）
综上所述，x1∈(1,2)，由x1=f(x0),得x0∈(1,2).
2．图表信息型。
例3 深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑。 请问警察的认定对红色出租车公平吗？
试说明理由。
解析设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：
从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为，而它是蓝色的概率为。 在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的。
例4 已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t(0≤t≤24，单位小时）的函数，记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据。
经长期观测y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=acosωt+b.
1）根据以上数据，求出函数y=acosωt+b的最小正周期t，振幅a及函数表达式；
2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动。
解析 （1）由表中数据，知t=12，ω=
由t=0,y=1.5得a+b=1.5.
由t=3,y=1.0,得b=1.0.所以，a=0.5,b=1.振幅a=，y=
2)由题意知，当y>1时，才可对冲浪者开放。∴>1, >0.
2kπ–,即有12k–3由0≤t≤24,故可令k=0,1,2,得0≤t<3或9∴在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9：00至下午15：00.
3. 图形、图像信息型。
例5 一只小船以10 m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s的速度前进（如图），现在小船在水平p点以南的40米处，汽车在桥上以西q点30米处（其中pq⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本身的大小）.
解析：设经过时间t汽车在a点，船在b点，（如图），则aq=30–20t,bp=40–10t,pq=20,且有aq⊥bp，pq⊥aq，pq⊥pb，设小船所在平面为α,aq,qp确定平面为β,记α∩βl,由aq∥α,aqβ得aq∥l,又aq⊥pq，得pq⊥l,又pq⊥pb，及l∩pb=p得pq⊥α.作ac∥pq，则ac⊥α.
连cb，则ac⊥cb，进而aq⊥bp，cp∥aq得cp⊥bp，∴ab2=ac2+bc2=pq2+pb2+pc2=202+（40–10t）2+(30–20t)2=100［5(t–2)2+9］,t=2时ab最短，最短距离为30 m.
答案：30 m
例6 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场**得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系如下图1所示的一条件线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用如下图2所示的抛物线段表示。
1)写出如图1所示市场售价与时间的函数关系式p=f(t)；写出如下图2所示种植成本与时间的函数关系式q=g(t).
2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)
图1图2解析 (1)f(t)=；g(t)=(t-150)2+100，0≤t≤300.
2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t)，即h(t)=
当0≤t≤200时，配方整理得h(t)=-t-50)2+100，所以，当t=50时，h(t)取得区间［0，200］上的最大值100；当200＜t≤300时，配方整理得h(t)=-t-350)2+100
所以，当t=300时，h(t)取得区间(200，300］上的最大值87.5
综上，由100＞87.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t=50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。
三、函数与数列、不等式证明的综合型：函数与数列、不等式证明的综合题在高考中常考常新 , 是既考知识又考能力的好题型 , 在高考备考中有较高的训练价值同时这类问题在高考中频频出现，是历年高考试题中不容忽视的一个考点。
例7 已知函数f(x
1) 证明函数f(x)的图象关于点p()对称．
2) 令an＝，对一切自然数n，先猜想使an＞ｎ２成立的最小自然数a,并证明之．
3) 求证：∈ｎ
解析 (1)关于函数的图象关于定点p对称， 可采用解几中的坐标证法。
设m(x,y)是f(x)图象上任一点，则m关于p()的对称点为m
ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的图象上，故函数f(x)的图象关于点p()对称。
2)将f(n)、f(1-n)的表达式代入an的表达式，化简可得an＝ａｎ猜a=3,即3ｎ＞ｎ
下面用数学归纳法证明．
设n=k(k≥２)时，3ｋ＞ｋ
则n=k+1时，3又3k
令k=1,2,…，n，得n个同向不等式，并相加得：
四、方案优化型。
寻找问题的最优解，是这一类题目的共同特点．解决问题的方法主要涉及线性规划、均值不等式、单调性等求最值的方法．
例8 已知甲、乙、丙三种食物的维生素a、b含量及成本如下表，若用。
甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素a和63000单位维生素b.
（1）用x，y表示混合食物成本c元；
（2）确定x，y，z的值，使成本最低。
解析 （1）依题意得 .
2）由， 得，当且仅当时等号成立。,
∴当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低为850元。
五、是否存在型：给出一定的条件，让我们去证明在给定条件下，一些给定的结论一定存在或一定不存在，或者要求我们去判断在给定条件下的结论是否存在。
例9 已知方向向量为v=(1,)的直线l过点（0，－2）和椭圆c：的焦点，且椭圆c的中心关于直线l的对称点在椭圆c的右准线上。
ⅰ）求椭圆c的方程；
ⅱ）是否存在过点e（－2，0）的直线m交椭圆c于点m、n，满足，cot∠mon≠0（o为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由。
解析 (ⅰ由题意可得直线ι：,
过原点垂直ι的方程为 ②
高考数学常见创新题型赏析
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