目录。第一部分函数图象中点的存在性问题。
1.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 2023年上海市中考第24题。
例2 2023年苏州市中考第29题。
例3 2023年黄冈市中考第25题。
例4 2023年义乌市中考第24题。
例5 2023年临沂市中考第26题。
例6 2023年苏州市中考第29题。
1.2 因动点产生的等腰三角形问题。
例1 2023年上海市虹口区中考模拟第25题。
例2 2023年扬州市中考第27题。
例3 2023年临沂市中考第26题。
例4 2023年湖州市中考第24题。
例5 2023年盐城市中考第28题。
例6 2023年南通市中考第27题。
例7 2023年江西省中考第25题。
1.3 因动点产生的直角三角形问题。
例1 2023年山西省中考第26题。
例2 2023年广州市中考第24题。
例3 2023年杭州市中考第22题。
例4 2023年浙江省中考第23题。
例5 2023年北京市中考第24题。
例6 2023年嘉兴市中考第24题。
例7 2023年河南省中考第23题。
1.4 因动点产生的平行四边形问题。
例1 2023年上海市松江区中考模拟第24题。
例2 2023年福州市中考第21题。
例3 2023年烟台市中考第26题。
例4 2023年上海市中考第24题。
例5 2023年江西省中考第24题。
例6 2023年山西省中考第26题。
例7 2023年江西省中考第24题。
1.5 因动点产生的梯形问题。
例1 2023年上海市松江中考模拟第24题。
例2 2023年衢州市中考第24题
例4 2023年义乌市中考第24题。
例5 2023年杭州市中考第24题。
例7 2023年广州市中考第25题。
1.6 因动点产生的面积问题。
例1 2023年苏州市中考第29题。
例2 2023年菏泽市中考第21题。
例3 2023年河南省中考第23题。
例4 2023年南通市中考第28题。
例5 2023年广州市中考第25题。
例6 2023年扬州市中考第28题。
例7 2023年兰州市中考第29题。
1.7 因动点产生的相切问题。
例1 2023年上海市杨浦区中考模拟第25题。
例2 2023年河北省中考第25题
例3 2023年无锡市中考第28题。
1.8 因动点产生的线段和差问题。
例1 2023年天津市中考第25题。
例2 2023年滨州市中考第24题。
例3 2023年山西省中考第26题。
第二部分图形运动中的函数关系问题。
2.1 由比例线段产生的函数关系问题。
例1 2023年宁波市中考第26题。
例2 2023年上海市徐汇区中考模拟第25题。
例3 2023年连云港市中考第26题。
例4 2023年上海市中考第25题。
2.2 由面积公式产生的函数关系问题。
例1 2023年菏泽市中考第21题。
例2 2023年广东省中考第22题
例3 2023年河北省中考第26题
例4 2023年淮安市中考第28题。
例5 2023年山西省中考第26题。
例6 2023年重庆市中考第26题。
第三部分图形运动中的计算说理问题。
3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题。
例1 2023年南京市中考第26题。
例2 2023年南昌市中考第25题。
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题。
例1 2023年上海市黄浦区中考模拟第24题。
例2 2023年江西省中考第24题。
声明。选自东师范大学出版社出版的《挑战中考数学压轴题》（含光盘）一书。该书收录当年全国各地具有代表性的中考数学压轴题， 并把它们分为4部分、24小类。
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由于格式问题，该书最具特色的电脑课件和**文件在此无法一并附上，敬请原谅。
第一部分函数图象中点的存在性问题。
1.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 2023年上海市中考第24题。
如图1，在平面直角坐标系xoy中，顶点为m的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点a和x轴正半轴上的点b，ao＝bo＝2，∠aob＝120°．
1）求这条抛物线的表达式；
2）连结om，求∠aom的大小；
3）如果点c在x轴上，且△abc与△aom相似，求点c的坐标．
图1 动感体验。
请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点c在x轴上运动，可以体验到，点c在点b的右侧，有两种情况，△abc与△aom相似．
请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点c在x轴上运动，可以体验到，点c在点b的右侧，有两种情况，△abc与△aom相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。
思路点拨。1．第（2）题把求∠aom的大小，转化为求∠bom的大小．
2．因为∠bom＝∠abo＝30°，因此点c在点b的右侧时，恰好有∠abc＝∠aom．
3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△abc与△aom相似．
满分解答。1）如图2，过点a作ah⊥y轴，垂足为h．
在rt△aoh中，ao＝2，∠aoh＝30°，所以ah＝1，oh＝．所以a．
因为抛物线与x轴交于o、b(2,0)两点，设y＝ax(x－2)，代入点a，可得图2
所以抛物线的表达式为．
2）由，得抛物线的顶点m的坐标为．所以．
所以∠bom＝30°．所以∠aom＝150°．
3）由a、b(2,0)、m，得，，．
所以∠abo＝30°，．
因此当点c在点b右侧时，∠abc＝∠aom＝150°．
abc与△aom相似，存在两种情况：
如图3，当时，．此时c(4,0)．
如图4，当时，．此时c(8,0)．
图3图4考点伸展。
在本题情境下，如果△abc与△bom相似，求点c的坐标．
如图5，因为△bom是30°底角的等腰三角形，∠abo＝30°，因此△abc也是底角为30°的等腰三角形，ab＝ac，根据对称性，点c的坐标为(－4,0)．
图5例2 2023年苏州市中考第29题。
如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点a、b（点a位于点b是左侧），与y轴的正半轴交于点c．
1）点b的坐标为___点c的坐标为用含b的代数式表示）；
2）请你探索在第一象限内是否存在点p，使得四边形pcob的面积等于2b，且△pbc是以点p为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点p的坐标；如果不存在，请说明理由；
3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点q，使得△qco、△qoa和△qab中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点q的坐标；如果不存在，请说明理由．
图1动感体验。
请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点b在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点p到两坐标轴的距离相等，存在四边形pcob的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点b，可以体验到，存在∠oqa＝∠b的时刻，也存在∠oq′a＝∠b的时刻．
思路点拨。1．第（2）题中，等腰直角三角形pbc暗示了点p到两坐标轴的距离相等．
2．联结op，把四边形pcob重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．
3．第（3）题要**三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点q最大的可能在经过点a与x轴垂直的直线上．
满分解答。1）b的坐标为(b, 0)，点c的坐标为(0,)．
2）如图2，过点p作pd⊥x轴，pe⊥y轴，垂足分别为d、e，那么△pdb≌△pec．
因此pd＝pe．设点p的坐标为(x, x)．
如图3，联结op．
所以s四边形pcob＝s△pco＋s△pbo＝＝2b．
解得．所以点p的坐标为()．
图2图33）由，得a(1, 0)，oa＝1．
如图4，以oa、oc为邻边构造矩形oaqc，那么△oqc≌△qoa．
当，即时，△bqa∽△qoa．
所以．解得．所以符合题意的点q为()．
如图5，以oc为直径的圆与直线x＝1交于点q，那么∠oqc＝90°。
因此△ocq∽△qoa．
当时，△bqa∽△qoa．此时∠oqb＝90°．
所以c、q、b三点共线．因此，即．解得．此时q(1,4)．
图4图5考点伸展。
第（3）题的思路是，a、c、o三点是确定的，b是x轴正半轴上待定的点，而∠qoa与∠qoc是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．
这样，先根据△qoa与△qoc相似把点q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点b的位置．
如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点q呢？
如果符合题意的话，那么点b的位置距离点a很近，这与ob＝4oc矛盾．
例3 2023年黄冈市中考模拟第25题。
如图1，已知抛物线的方程c1： (m＞0)与x轴交于点b、c，与y轴交于点e，且点b在点c的左侧．
1）若抛物线c1过点m(2, 2)，求实数m的值；
2）在（1）的条件下，求△bce的面积；
3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点h，使得bh＋eh最小，求出点h的坐标；
4）在第四象限内，抛物线c1上是否存在点f，使得以点b、c、f为顶点的三角形与△bce相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
图1动感体验。
请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点c在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，ec与bf保持平行，但是∠bfc在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠cbf保持45°，存在∠bfc＝∠bce的时刻．
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