104. （2011菏泽，27，9分）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于a，b两点，与y轴交于c点，且a（﹣1，0）．
1）求抛物线的解析式及顶点d的坐标；
2）判断△abc的形状，证明你的结论；
3）点m（m，0）是x轴上的一个动点，当mc+md的值最小时，求m的值．
考点：二次函数综合题。
分析：（1）把a点的坐标代入抛物线解析式，求b得值，即可的出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；
2）根据直角三角形的性质，推出ac2=oa2+oc2=5，bc2=oc2+ob2=20，即ac2+bc2=25=ab2，即可确△abc是直角三角形；
3）作出点c关于x轴的对称点c′，则c′（0，2），oc'=2．连接c'd交x轴于点m，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，mc+md的值最小．首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求m的值。
解答：解：（1）∵点a（﹣1，0）在抛物线y=x2+bx﹣2上，×（1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，解得b=-
抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．
y=x2﹣x﹣2
（ x2﹣3x﹣4 ）
（x﹣）2﹣，顶点d的坐标为 （，
2）当x=0时y=﹣2，∴c（0，﹣2），oc=2．
当y=0时，x2﹣x﹣2=0，∴x1=﹣1，x2=4，∴b （4，0）
oa=1，ob=4，ab=5．
ab2=25，ac2=oa2+oc2=5，bc2=oc2+ob2=20，ac2+bc2=ab2．∴△abc是直角三角形．
3）作出点c关于x轴的对称点c′，则c′（0，2），oc′=2，连接c′d交x轴于点m，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，mc+md的值最小．
解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点e．
ed∥y轴，∴∠oc′m=∠edm，∠c′om=∠dem
△c′om∽△dem． ,m=
解法二：设直线c′d的解析式为y=kx+n，则，解得n=2，
当y=0时，-
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形．
1、（2011广西防城港 26，12分）已知抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于a、b两点（点a在点b的左侧），与y轴交于点c，点d为抛物线的顶点．
1）求a、b的坐标；
2）过点d作dh丄y轴于点h，若dh＝hc，求a的值和直线cd的解析式；
3）在第（2）小题的条件下，直线cd与x轴交于点e，过线段ob的中点n作nf丄x轴，并交直线cd于点f，则直线nf上是否存在点m，使得点m到直线cd的距离等于点m到原点o的距离？若存在，求出点m的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题专题：压轴题。
分析：（1）令y＝0，求得x的值，从而得出点a、b的坐标．
2）令x＝0，则y＝－3a，求得点c、d的坐标，设直线cd的解析式为y＝kx＋b，把c、d两点的坐标代入，求出直线cd的解析式．
3）设存在，作mq⊥cd于q，由rt△fqm∽rt△fne，得，及可得出关于m的一元二次方程，求出方程的解，即可得出点m的坐标．
解答：（1）由y＝0得，ax2－2ax－3a＝0．∵a≠0，∴x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，a（－1，0），b（3，0）．
2）由y＝ax2－2ax－3a，令x＝0，得y＝－3a∴c（0，－3a）
y＝ax2－2ax－3a＝a(x－1)2－4a∴d（1，－4a）
dh＝hc∴dh＝1，ch＝－4a－（－3a）＝－a∴－a＝1∴a＝－1
c（0，3），d（1，4）
设直线cd的解析式为y＝kx＋3，则k＋3＝4，解得k＝1∴直线cd的解析式为y＝x＋3．
3）存在，如下图，作mq⊥cd于q，由（2）得，e（－3，0），n（，0）
f（，）en＝
设存在满足条件的点m（，m），则fm＝－m，ef＝，mq＝om＝
∠qfm＝∠nfe，∠fqm＝∠fne＝90°∴rt△fqm∽rt△fne
即。整理得4m2＋36m－63＝0，(2m－3)(2m＋21)＝0
m1＝，m2＝－
点m的坐标为m1（，）m2（，－
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有一元二次方程的解法．在求有关存在不存在问题时要注意先假设存在，再讨论结果．
103. （2011玉林，26，12分）已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于a、b两点（点a在点b的左侧），与y轴交于点c，点d为抛物线的顶点．
1）求a、b的坐标；
2）过点d作dh丄y轴于点h，若dh=hc，求a的值和直线cd的解析式；
3）在第（2）小题的条件下，直线cd与x轴交于点e，过线段ob的中点n作nf丄x轴，并交直线cd于点f，则直线nf上是否存在点m，使得点m到直线cd的距离等于点m到原点o的距离？若存在，求出点m的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题。
分析：（1）令y=0求得x的值，从而得出点a、b的坐标；
2）令x=0，则y=﹣3a，求得点c、d的坐标，设直线cd的解析式为y=kx+b，把c、d两点的坐标代入，求出直线cd的解析式；
3）设存在，作mq⊥cd于q，由rt△fqm∽rt△fne，得=，及可得出关于m的一元二次方程，求出方程的解，即可得出点m的坐标．
解答：解：（1）由y=0得，ax2﹣2ax﹣3a=0，a≠0，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，点a的坐标（﹣1，0），点b的坐标（3，0）；
2）由y=ax2﹣2ax﹣3a，令x=0，得y=﹣3a，c（0，﹣3a），又∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，得d（1，﹣4a），dh=1，ch=﹣4a﹣（﹣3a）=﹣a，﹣a=1，a=﹣1，c（0，3），d（1，4），设直线cd的解析式为y=kx+b，把c、d两点的坐标代入得，，解得，直线cd的解析式为y=x+3；
3）存在．由（2）得，e（﹣3，0），n（﹣，0）
f（，）en=，作mq⊥cd于q，设存在满足条件的点m（，m），则fm=﹣m，ef=，mq=om=
由题意得：rt△fqm∽rt△fne，=，整理得4m2+36m﹣63=0，m2+9m=，m2+9m+=+
m+）2=m+=±
m1=，m2=﹣，点m的坐标为m1（，）m2（，﹣
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有一元二次方程的解法．在求有关存在不存在问题时要注意先假设存在，再讨论结果．
2、（2011湖北黄石，25,10分）已知二次函数y=x2﹣2mx+4m﹣8
1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围．
2）以抛物线y=x2﹣2mx+4m﹣8的顶点a为一个顶点作该抛物线的内接正三角形amn（m，n两点在拋物线上），请问：△amn的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
3）若抛物线y=x2﹣2mx+4m﹣8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值．
考点：二次函数综合题。专题：综合题。
分析：（1）求出二次函数的对称轴x=m，由于抛物线的开口向上，在对称轴的左边y随x的增大而减小，可以求出m的取值范围．
2）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，得到三角形amn的面积是m无关的定值．
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