1、（2009广西贺州）．(本题满分10分) 如图，抛物线的顶点为a，与y 轴交于点b．
（1）求点a、点b的坐标．
2）若点p是x轴上任意一点，求证：．
3）当最大时，求点p的坐标。
2、（2009广东深圳）．（9分）如图，在直角坐标系中，点a的坐标为（－2，0），连结oa，将线段oa绕原点o顺时针旋转120°，得到线段ob.
1）求点b的坐标；
2）求经过a、o、b三点的抛物线的解析式；
3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点c，使△boc的周长最小？若存在，求出点c的坐标；若不存在，请说明理由。
4）如果点p是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△pab是否有最大面积？若有，求出此时p点的坐标及△pab的最大面积；若没有，请说明理由。
3、（2009龙岩）（14分）如图，抛物线与x轴交于a、b两点，与y轴交于c点，四边形obhc为矩形，ch的延长线交抛物线于点d（5，2），连结bc、ad.
1）求c点的坐标及抛物线的解析式；
2）将△bch绕点b按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到。
bef（点c与点e对应），判断点e是否落在抛物线上，并说明理由；
3）设过点e的直线交ab边于点p，交cd边于点q. 问是否存在点p，使直线pq分梯形abcd的面积为1∶3两部分？若存在，求出p点坐标；若不存在，请说明理由。
4、（2009**）（12分）如图①， 已知抛物线（a≠0）与轴交于点a(1，0)和点b (－3，0)，与y轴交于点c．
1) 求抛物线的解析式；
2) 设抛物线的对称轴与轴交于点m ，问在对称轴上是否存在点p，使△cmp为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由．
3) 如图②，若点e为第二象限抛物线上一动点，连接be、ce，求四边形boce面积的最大值，并求此时e点的坐标．
5、（2023年烟台市）如图，已知抛物线y=x2+bx-3a过点a（1,0），b(0,-3),与x轴交于另一点c。
1）求抛物线的解析式；
2）若在第三象限的抛物线上存在点p，使△pbc为以点b为直角顶点的直角三角形，求点p的坐标；
3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点q，使以p,q,b,c为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点q的坐标；若不存在，请说明理由。
6、（眉山市2010）如图，rt△abo的两直角边oa、ob分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，o为坐标原点，a、b两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过b点，且顶点在直线上．
1）求抛物线对应的函数关系式；
2）若△dce是由△abo沿x轴向右平移得到的，当四边形abcd是菱形时，试判断点c和点d是否在该抛物线上，并说明理由；
3）若m点是cd所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点m作mn平行于y轴交cd于点n．设点m的横坐标为t，mn的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点m的坐标．
7、（2009广东湛江）已知矩形纸片的长为4，宽为3，以长所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系；点是边上的动点（与点不重合），现将沿翻折。
得到，再在边上选取适当的点将沿翻折，得到，使得。
直线重合．1）若点落在边上，如图①，求点的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；
2）若点落在矩形纸片的内部，如图②，设当为何值时，取得最大值？
3）在（1）的情况下，过点三点的抛物线上是否存在点使是以为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标。
8、（2023年大兴安岭地区）直线与坐标轴分别交于、两点，、的长分别是方程的两根（），动点从点出发，沿路线→→以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时运动停止．
1）直接写出、两点的坐标；
2）设点的运动时间为(秒)，的面积为，求与之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
3）当时，直接写出点的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9、（2009兰州）如图①，正方形 abcd中，点a、b的坐标分别为（0，10），（8，4），
点c在第一象限．动点p在正方形 abcd的边上，从点a出发沿a→b→c→d匀速运动，
同时动点q以相同速度在x轴正半轴上运动，当p点到达d点时，两点同时停止运动，
设运动的时间为t秒．
1)当p点在边ab上运动时，点q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点q开始运动时的坐标及点p运动速度；
2)求正方形边长及顶点c的坐标；
3)在（1）中当t为何值时，△opq的面积最大，并求此时p点的坐标；
4)如果点p、q保持原速度不变，当点p沿a→b→c→d匀速运动时，op与pq能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
10、（2009哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点o是坐标原点，四边形abco是菱形，点a的坐标为（－3，4），点c在x轴的正半轴上，直线ac交y轴于点m，ab边交y轴于点h．
（1）求直线ac的解析式；
（2）连接bm，如图2，动点p从点a出发，沿折线abc方向以2个单位／秒的速度向终点c匀速运动，设△pmb的面积为s（s≠0），点p的运动时间为t秒，求s与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠mpb与∠bco互为余角，并求此时直线op与直线ac所夹锐角的正切值．
11.在△abc中，∠c＝90°，ac＝3，bc＝4，cd是斜边ab上的高，点e在斜边ab上，过点e作直线与△abc的直角边相交于点f，设ae＝x，△aef的面积为y．
1）求线段ad的长；
2）若ef⊥ab，当点e**段ab上移动时，求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）
当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；
3）若f在直角边ac上（点f与a、c两点均不重合），点e在斜边ab上移动，试问：是否存在直线ef将△abc的周长和面积同时平分？若存在直线ef，求出x的值；若不存在直线ef，请说明理由．
12、（2023年青岛市）已知：把rt△abc和rt△def按如图（1）摆放（点c与点e重合），点b、c（e）、f在同一条直线上．∠acb = edf = 90°，∠def = 45°，ac = 8 cm，bc = 6 cm，ef = 9 cm．
如图（2），△def从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿cb向△abc匀速移动，在△def移动的同时，点p从△abc的顶点b出发，以2 cm/s的速度沿ba向点a匀速移动。当△def的顶点d移动到ac边上时，△def停止移动，点p也随之停止移动．de与ac相交于点q，连接pq，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：
1）当t为何值时，点a**段pq的垂直平分线上？
2）连接pe，设四边形apec的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．
3）是否存在某一时刻t，使p、q、f三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）
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