2023年普通高等学校招生全国统一考试。
全国课标1理科数学。
1. 已知集合a=，b=的前项和为， =1，，，其中为常数。
ⅰ）证明：；（是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由。
18. （本小题满分12分）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（ⅰ求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差。
（i）利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求。
附：≈12.2.
若～，则=0.6826， =0.9544.
19. （本小题满分12分）如图三棱锥中，侧面为菱形，.
ⅰ） 证明：；（若，，ab=bc，求二面角的余弦值。
20.（本小题满分12分）已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点。（ⅰ求的方程；
ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程。
21.（本小题满分12分）设函数，曲线在点（1，）处的切线为。 (求； （证明：.
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2b铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形abcd是⊙o的内接四边形，ab的延长线与dc的延长线交于点e，且cb=ce
ⅰ）证明：∠d=∠e；
ⅱ）设ad不是⊙o的直径，ad的中点为m，且mb=mc，证明：△ade为等边三角形。
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）.（写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值。
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若，且。
ⅰ）求的最小值；
ⅱ）是否存在，使得？并说明理由。
2023年普通高等学校招生全国统一考试。
全国课标1理科数参***。
一、选择题。
1—5adcad 6—10cdcbb
二、填空题。
13.-20 14. a 15. 16.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
解：ⅰ）由题设，
两式相减得，由于6分。
ⅱ），而，解得，由（ⅰ）知。
令，解得。故，由此可得。
是首项为1，公差为4的等差数列，；
是首项为3，公差为4的等差数列，。
所以， 因此存在，使得为等差数列12分。
18.（本小题满分12分）
解：ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为。
6分。ⅱ）（由（ⅰ）知，，从而。
………9分。
ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的赶驴为0.6826，依题意知（100，0.6826），所以12分。
19. （本小题满分12分）
解：（ⅰ连接，交于点，连结，因为侧面为菱形，所以，且为及的中点。
又，所以，由于，故，又，故6分。
ⅱ）因为，且为的中点，所以，又因为，所以，故，从而两两互相垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系。
因为，所以为等边三角形，又，则。
设是平面的法向量，则。
即。所以可取。
设是平面的法向量，则。
同理可取，则。
所以二面角的余弦值为12分。
20.（本小题满分12分）
解：（ⅰ设，由条件知，，得，又，所以。
故的方程为5分。
ⅱ）当轴时不合题意，故设，，将代入得。
当，即时，
从而。又点到直线的距离，所以的面积。
………9分。
设，则， 因为，当且仅当，即时等号成立，且满足。
所以当的面积最大时，的方程为。
或12分。21.（本小题满分12分）
解：（ⅰ函数的定义域为，
由题意可得。
故5分。ⅱ）由（ⅰ）知，，从而等价于。
设函数，则，所以当时，；当时，
故在单调递减，在单调递增，从而在的最小值为。
8分。设函数，则。
所以，当时，；当时，，故在单调递增，在单调递减，从而在的最大值为。
综上，当时，，即12分。
22.（本小题满分10分）
ⅰ）证明：由题设得，a，b，c，d四点共圆，所以，
由已知得，故5分。
ⅱ）设bc的中点为n，连结，则由知，故在直线上。
又不是的直径，为的中点，故，即。
所以，故。又，故，由（ⅰ）知，，所以为等边三角形。
10分。23.（本小题满分10分）
解：（ⅰ曲线的参数方程为（为参数）
直线的普通方程为5分。
ⅱ）曲线上任意一点到的距离为。
则，其中为锐角，且。
当，取得最大值，最大值为．
当时，取得最小值，最小值为………10分。
24. （本小题满分10分）
解：（ⅰ由，得，且当时等号成立。
故，且当时等号成立。
所以的最小值为5分。
ⅱ）由（ⅰ）知，
由于，从而不存在，使得10分。
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