2013·新课标全国卷ⅱ
第ⅰ卷。一、选择题：
1．已知集合m＝，n＝，则m∩n＝(
a． b． c． d．
2．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(
a．－1＋i b．－1－i c．1＋i d．1－i
3．等比数列的前n项和为sn.已知s3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(
a． b． c． d．
4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )
a．α∥且l
b．α⊥且l⊥β
c．α与β相交，且交线垂直于l
d．α与β相交，且交线平行于l
5．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(
a．－4 b．－3 c．－2 d．－1
6．执行下面的程序框图，如果输入的n＝10，那么输出的s＝(
a． b．
c． d．
7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系o－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面为投影面，则得到的正视图可以为( )
8．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
a．c＞b＞a b．b＞c＞a c．a＞c＞b d．a＞b＞c
9．已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(
a． b． c．1 d．2
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )
a． x0∈r，f(x0)＝0
b．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形。
c．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(-∞x0)单调递减。
d．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
11．设抛物线c：y2＝2px(p＞0)的焦点为f，点m在c上，|mf|＝5，若以mf为直径的圆过点(0,2)，则c的方程为( )
a．y2＝4x或y2＝8x b．y2＝2x或y2＝8x
c．y2＝4x或y2＝16x d．y2＝2x或y2＝16x
12．已知点a(－1,0)，b(1,0)，c(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△abc分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )
a．(0,1) b． c． d．
第ⅱ卷。二、填空题：
13．已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则＝__
14．从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝__
15．设θ为第二象限角，若，则sin θ＋cos θ＝
16．等差数列的前n项和为sn，已知s10＝0，s15＝25，则nsn的最小值为。
三、解答题：
17．△abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c
已知a＝bcos c＋csin b.
1)求b；2)若b＝2，求△abc面积的最大值．
18．如图，直三棱柱abc－a1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点，aa1＝ac＝cb＝.
1)证明：bc1∥平面a1cd；
2)求二面角d－a1c－e的正弦值．
19．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以x(单位：t,100≤x≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，t(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
1)将t表示为x的函数；
2)根据直方图估计利润t不少于57 000元的概率；
3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量x∈[100,110)，则取x＝105，且x＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求t的数学期望．
20．平面直角坐标系xoy中，过椭圆m： (a＞b＞0)右焦点的直线交m于a，b两点，p为ab的中点，且op的斜率为。
1)求m的方程；
2)c，d为m上两点，若四边形acbd的对角线cd⊥ab，求四边形acbd面积的最大值．
21．已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．
1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
2)当m≤2时，证明f(x)＞0.
23．已知动点p，q都在曲线c： (t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，m为pq的中点．
1)求m的轨迹的参数方程；
2)将m到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断m的轨迹是否过坐标原点．
一、选择题：
1．答案：a
解析：解不等式(x－1)2＜4，得－1＜x＜3，即m＝．而n＝，所以m∩n＝，2．答案：a
解析：＝＝1＋i.
3． 答案：c
解析：设数列的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时s3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.
q≠1时，s3＝＝a1·q＋10a1，＝q＋10，整理得q2＝9.
a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝.
4．答案：d
解析：因为m⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α.同理可得l∥β.
又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．
5．答案：d
解析：因为(1＋x)5的二项展开式的通项为(0≤r≤5，r∈z)，则含x2的项为＋ax·＝(10＋5a)x2，所以10＋5a＝5，a＝－1.
6．答案：b
解析：由程序框图知，当k＝1，s＝0，t＝1时，t＝1，s＝1；
当k＝2时，，；
当k＝3时，，；
当k＝4时，，；
当k＝10时，，
k增加1变为11，满足k＞n，输出s，7． 答案：a
解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系o－xyz的图像为下图：
则它在平面zox上的投影即正视图为，8．答案：d
解析：根据公式变形，，，因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以，即c＜b＜a.
9．答案：b
解析：由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得，所以。
10．答案：c
解析：∵x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞x0)上不单调。
11．答案：c
解析：设点m的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|mf|＝x0＋＝5，则x0＝5－.
又点f的坐标为，所以以mf为直径的圆的方程为(x－x0)＋(y－y0)y＝0.
将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.
由＝2px0，得，解之得p＝2，或p＝8.
所以c的方程为y2＝4x或y2＝16x.
12． 答案：b
第ⅱ卷。二、填空题：
13．答案：2
解析：以ab所在直线为x轴，ad所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点a的坐标为(0,0)，点b的坐标为(2,0)，点d的坐标为(0,2)，点e的坐标为(1,2)，则＝(1,2)，＝2,2)，所以。
14．答案：8
解析：从1,2，…，n中任取两个不同的数共有种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以，即，解得n＝8.
15．答案：
解析：由，得tan θ＝即sin θ＝cos θ.
将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得。
因为θ为第二象限角，所以cos θ＝sin θ＝sin θ＋cos θ＝
16．答案：－49
解析：设数列的首项为a1，公差为d，则s10＝＝10a1＋45d＝0，①
s15＝＝15a1＋105d＝25.②
联立①②，得a1＝－3，所以sn＝.
令f(n)＝nsn，则，.
令f′(n)＝0，得n＝0或。
当时，f′(n)＞0,时，f′(n)＜0，所以当时，f(n)取最小值，而n∈n＋，则f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以当n＝7时，f(n)取最小值－49.
三、解答题：
17．解：(1)由已知及正弦定理得。
sin a＝sin bcos c＋sin csin b．①
又a＝π－b＋c)，故。
sin a＝sin(b＋c)＝sin bcos c＋cos bsin c．②
由①，②和c∈(0，π)得sin b＝cos b，又b∈(0，π)所以。
2)△abc的面积。
由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－.
又a2＋c2≥2ac，故，当且仅当a＝c时，等号成立．
因此△abc面积的最大值为。
18．解：(1)连结ac1交a1c于点f，则f为ac1中点．
又d是ab中点，连结df，则bc1∥df.
因为df平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1∥平面a1cd.
2)由ac＝cb＝得，ac⊥bc.
以c为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系c－xyz.
设ca＝2，则d(1,1,0)，e(0,2,1)，a1(2,0,2)，＝1,1,0)，＝0,2,1)，＝2,0,2)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面a1cd的法向量，则即。
可取n＝(1，－1，－1)．
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