1. （本小题满分12分）
在中，已知，．
ⅰ）求的值；
ⅱ）若的面积，求的值．
2. （本小题满分12分）
如图是以正方形为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形为。
截面，且，．
（ⅰ）证明：截面四边形是菱形；
ⅱ）求三棱锥的体积．
3. （本小题满分14分）
某旅游商品生产企业，2023年某商品生产的投入成本为1元/件，出厂价为流程图的输。
出结果元/件，年销售量为10000件，因2023年国家长假的调整，此企业为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每件投入成本增加的比例为（），则出厂价相应提高的比例为，同时预计销售量增加的比例为．已知得利润（出厂价投入成本）年销售量．
（ⅰ）写出2023年预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；
ⅱ）为使2023年的年利润比2023年有所增加，问：投入成本增加的比例应在什么范围内？
4. （本小题满分14分）
已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为，离心率为．ⅰ）求椭圆的标准方程；
ⅱ）已知点和直线：，线段是椭圆的一条弦且直线垂直平。
分弦，求实数的值．
5. （本小题满分14分）
设数列的前项和为，其中，为常数，且、、成等差数列．ⅰ）求的通项公式；
ⅱ）设，问：是否存在，使数列为等比数列？若存在，求出的值；
若不存在，请说明理由．
6. （本小题满分14分）
已知抛物线与直线相切于点．
ⅰ）求的解析式；
ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．16. 解：（ⅰ由得，由此及。
即。得，故；
ⅱ）由得，由此及余弦定理得。
故．17. 解：（ⅰ证明：因为平面∥平面，且平面分别交平面、平面于直线、，所以∥．
同理，∥．因此，四边形为平行四边形1）
因为，而为在底面上的射影，所以．
因为，所以∥．
因此2）由（1）、（2）可知：四边形是菱形；
ⅱ）因为平面，∥，所以到平面的距离为．于是，由等体积法得所求体积。
18. 解：（ⅰ由流程图可知：．依题意，得。
ⅱ）要保证2023年的利润比2023年有所增加，当且仅当。
即．解之得．
19. 解：（ⅰ
ⅱ）由条件可得直线的方程为．于是，有。
设弦的中点为，则由中点坐标公式得，，由此及点在直线得。
20. 解：（ⅰ依题意，得．于是，当时，有。
两式相减，得（）．
又因为，，所以数列是首项为、公比为3的等比数列．因此，（）ⅱ）因为，所以。
要使为等比数列，当且仅当，即．
21. 解：（ⅰ依题意，有。
因此，的解析式为；
ⅱ）由（）得（），解之得。
由此可得。且，所以实数的取值范围是．
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