15．（本题满分为14分）
在斜三角形abc中，角a,b,c所对的边分别为a,b,c且。
求角a； ②若，求角c的取值范围。
16．（本题满分为14分）
已知二阶矩阵a的属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵a．
17．（本题满分为16分）
如图：在一个汶川灾后建设现场工地上有一个吊臂长的吊车，吊车底座高。现准备把一个底半径为高的圆柱形工件吊起平放到高的桥墩上。
(当物件与吊臂接触后，钢索cd长可通过顶点d处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触，且与工件的中心在一条垂直线上)
记工件能被吊起的最大高度为y（m）,请你选取适当的变量并将其表示成函数，判断工件能否安全被吊到桥墩上。（参考数据：）
18．（本题满分为14分）
已知函数，且。
求的最小值及此时函数的表达式；
在⑴的前提下，设， ,
求的值； ②求的值。
19．（本题满分为16分）
设函数曲线在点处的切线方程为。
1）求的解析式；
2）证明：曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
3）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值。
20. （本题满分为16分）
已知函数。1）试求b,c所满足的关系式；
1 若b=0，方程有唯一解，求a的取值范围；
若b=1，集合，试求集合a.
附加题。1、设 m =，n =,试求曲线在矩阵mn变换下的曲线方程．
2、已知圆的极坐标方程为：．
将极坐标方程化为普通方程；
若点p(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
3、 已知矩阵，向量。
1）求矩阵的特征值、和特征向量、；
（2）求的值。
4、已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的。
15、（14分2分。
又∵ ，而为斜三角形，4分。
6分。∵，∴12分。
即14分。16、（14分）
解：设a=，由题知=， 3 ……7分。
即，解之得a14分。
17、（16分）
解析：吊车能把工件吊起的最大高度取决于吊臂的张角，由图可知，6分。
所以由。得时即8分。
当时。当时---14分。
故当时有最大值，
所以吊车能把圆柱形工件吊起平放到高的桥墩上16分。
18、（14分）
………4分。
①,9分②……14分。
19、（16分）解：（ⅰ于是解得或因，故．--4分。
ⅱ）证明：已知函数，都是奇函数．
所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．
而．可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形8分。
ⅲ）证明：在曲线上任取一点．
由知，过此点的切线方程为。
10分。令得，切线与直线交点为．
令得，切线与直线交点为．
直线与直线的交点为．
从而所围三角形的面积为．
所以，所围三角形的面积为定值16分。
20、（16分）
1）由，得。
b、c所满足的关系式为．……2分。
2）由，，可得．
方程，即，可化为，令，则由题意可得，在上有唯一解，…4分。
令，由，可得，当时，由，可知是增函数；
当时，由，可知是减函数．故当时，取极大值．……6分。
由函数的图象可知，当或时，方程有且仅有一个正实数解．
故所求的取值范围是或8分。
3）由，，可得．由且且且．…10分。
当时， ；当时，；
当时（），当时，且；
当时16分。
注：可直接通过研究函数与的图象来解决问题．
附加题参***。
1、mn4分。
设是曲线上的任意一点，在矩阵mn变换下对应的点为．
则，所以即8分。
代入得：，即．
即曲线在矩阵mn变换下的曲线方程为． …10分。
24分。圆的参数方程为6分。
所以，那么x＋y最大值为6，最小值为2． …10分。
3、解：(1)矩阵的特征多项式为 ，令，得，当时，得，当时，得5分。
2)由得，得。
10分。4、解：将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，即，它表示以为圆心，2为半径的圆4分。
直线方程的普通方程为6分。
圆c的圆心到直线l的距离8分。
故直线被曲线截得的线段长度为10分。
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