2024年山东高考理科压轴题的思考。
杨同伟西安市昆仑中学 710043
2024年山东省高考理科第22题是：
已知动直线与椭圆：交于两个不同点，且面积，其中为坐标原点。
（1）证明：和均为定值；
（2）设线段的中点为，求的最大值；
（3）椭圆上是否存在三点，使得，若存在，判定的形状，若不存在，说明理由。
思考1 对一般的椭圆来说，动直线与椭圆交于两不同点，当的面积为何定值时，和均为定值？
分析 ()当存在斜率时，设方程为（显然不能为0），由。
消去，并整理得 ,其中。
∴ ，又∵ 原点到的距离为，∴，假设，则有，即（*）
一方面，由，得，于是当时，面积有最大值为。
另一方面，由（*）解得，，不妨设，则于是。
∴ 要使成为与无关的常数，只需，即进而可得，所以，当时，为定值，为定值。
() 当不存在斜率时，设方程为，则，，原点到的距离为，，仅当，即时等号成立，此时，显然有，.
综合以上分析我们不难得到以下两个定理：
定理1 已知为坐标原点，动直线与椭圆交于，且面积，则为定值，为定值。
定理2 已知为坐标原点，动直线与椭圆交于，则面积的最大值为。
思考2 是否为“且”成立的充要条件？如果是，**以证明；如果不是，则“且”成立的充要条件是什么？
分析由定理1可知 “且”是成立的；
因此，只需看看“且”是否成立？
() 当存在斜率时，设方程为，由上面分析过程可知，而。
() 当不存在斜率时，由椭圆的对称性可知，于是。
综上可知，.
于是我们可得到下面定理：
定理3 已知为坐标原点，动直线与椭圆交于，,则且。
思考3 若弦的中点为，当时，的最大值是多少？
分析设，则，由定理1知 ∴.
由均值不等式可知，仅当（即）时，有最大值。
从上述分析可以看出下面重要的定理：
定理4 已知为坐标原点，动直线与椭圆交于，且面积，若弦的中点为，则有
1）为定值；
2）有最大值，且当取最大值时，.
思考4 椭圆上是否存在三点，使得？
分析假设椭圆上存在三点，使得，设于是由定理1可得。
进而有 所以的坐标只能在这四个点中选取三个不同点，而这三个点中肯定有两点在经过原点的直线上，这与题设条件相矛盾，故椭圆上不存在满足条件的点。
定理5 椭圆上不存在三点，使。
思考5 椭圆上是否存在三点，使？若存在，请设计一种作法，若不存在，请说明理由。
分析：由平面几何知识可知，) 当四边形为平行四边形时，即时，有；
() 当为的重心时，即时，有。
下面主要以椭圆的右焦点弦为顶点，来构造满足的（其他情况有兴趣的读者可进行更深入的**）.
过椭圆的右焦点作直线：交椭圆于，由消去，并整理得 ，，
∴，或，设， 则或。
在椭圆：上。
而， ，解得， 当时，过椭圆的右焦点，作斜率为的直线交椭圆于两点，此时点一定在在椭圆上，且满足题设条件；
当时，右焦点恰好是半长轴的中点，过作轴的垂线，交椭圆于，则长轴的一端与构成的或满足题设条件；
当时，过椭圆的右焦点，作任意直线交椭圆于两点，此时点一定不在椭圆上，故此时不存在以右焦点弦的两端为顶点的满足条件的。
定理6 直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于两点，是椭圆的离心率，则当时，椭圆上一定存在点，使；当时，椭圆上一定不存在点，使。
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