2023年山东高考文科数学第22（）（题的源与流。
山东省济宁市实验中学 272100 苗相军陈辉
2023年山东高考文科数学第22（）（题：在平面直角坐标系中，已知椭圆，如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆与两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点。若，求证直线过定点。
事实上，这个问题中的直线是椭圆外点关于椭圆的极线！所谓极线是指：从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线叫做点关于椭圆的极线。关于极线有如下相关的定理。
定理1：设是椭圆外一点，是坐标原点，射线交椭圆于点，点**段上，为椭圆的弦的中点，则直线是点关于椭圆极线的充要条件是。
证明：设，则直线的方程为，与椭圆方程联立，得点的横坐标，此时。
必要性）：点关于椭圆极线的方程为，与直线的方程联立，得点的横坐标，这时有，从而。
充分性）：因为，所以，从而，.
设，这时，，两式相减，得。
于是。直线的方程为。
整理得 上式表明直线是点关于椭圆的极线。
综上所述，定理1得证。
根据定理1，容易解答这道高考题：依题意，直线是点关于椭圆的极线，因为，所以直线的方程为，从而直线过定点。
根据定理1，可以将这道高考题推广到更一般的情形：
定理2：设直线(不全为零)与曲线相离，为坐标原点，是直线上一动点，射线交曲线于点，点**段上，为曲线的弦的中点，若，则直线过定点。
证明：因为，依据定理1，直线是点关于曲线的极线。设，这时的方程为。
点在直线上。
将代入： 整理得。
由于具有任意性，即。
从而直线过定点。
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