2023年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学参***。
一、选择题 1—12 adddbcbacbad
二、填空题 13．68 14．4 15． 16．2
三、解答题。
17．解：（i）由正弦定理，设。则。所以。
即，化简可得。
又，所以。因此。
（ii）由得。
由余弦定理。
解得a=1。
因此c=2又因为。
所以。因此。
18．解：（i）设甲胜a的事件为d，乙胜b的事件为e，丙胜c的事件为f，则分别表示甲不胜a、乙不胜b，丙不胜c的事件。
因为。由对立事件的概率公式知。
红队至少两人获胜的事件有：
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为。
（ii）由题意知可能的取值为0，1，2，3。
又由（i）知是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此。
由对立事件的概率公式得。
所以的分布列为：
因此。19．（i）证法一：
因为ef//ab，fg//bc，eg//ac，所以∽
由于ab=2ef，因此，bc=2fc，连接af，由于fg//bc，
在中，m是线段ad的中点，则am//bc，且。
因此fg//am且fg=am，所以四边形afgm为平行四边形，因此gm//fa。
又平面abfe，平面abfe，所以gm//平面ab。
证法二：因为ef//ab，fg//bc，eg//ac，所以∽
由于ab=2ef，因此，bc=2fc，取bc的中点n，连接gn，因此四边形bngf为平行四边形，所以gn//fb，在中，m是线段ad的中点，连接mn，则mn//ab，因为。
所以平面gmn//平面abfe。
又平面gmn，所以gm//平面abfe。
（ii）解法一：
因为，又平面abcd，所以ac，ad，ae两两垂直，分别以ac，ad，ae所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所法的空间直角坐标系，不妨设。
则由题意得a（0，0，0，），b（2，-2，0），c（2，0，0，），e（0，0，1），所以。又。所以。
设平面bfc的法向量为。
则。所以取。
所以。设平面abf的法向量为，则。
所以。则，所以。
因此二面角a—bf—c的大小为。
解法二：由题意知，平面平面abcd，取ab的中点h，连接ch，因为ac=bc，所以，则平面abfe，过h向bf引垂线交bf于r，连接cr，则。
所以为二面角a—bf—c的平面角。
由题意，不妨设ac=bc=2ae=2。
在直角梯形abfe中，连接fh，则，又。
所以。因此在中，
由于。所以在中，
因此二面角a—bf—c的大小为。
20．解：（i）当时，不合题意；
当时，当且仅当时，符合题意；
当时，不合题意。
因此。所以公式q=3，故。
（ii）因为。
所以。所以。
当n为偶数时，
当n为奇数时，
综上所述，21．解：（i）设容器的容积为v，由题意知。故。由于。
因此。所以建造费用。
因此。（ii）由（i）得。由于。当。
令。所以。
（1）当时，所以是函数y的极小值点，也是最小值点。
（2）当即时，当函数单调递减，所以r=2是函数y的最小值点，综上所述，当时，建造费用最小时。
当时，建造费用最小时。
22．（i）解：（1）当直线的斜率不存在时，p，q两点关于x轴对称，所以。
因为在椭圆上，因此 ①
又因为。所以 ②
由①、②得。
此时。（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为。
由题意知m，将其代入，得。其中。即。
又。所以。
因为点o到直线的距离为。所以。又。
整理得且符合（*）式，此时。
综上所述，结论成立。
（ii）解法一：
（1）当直线的斜率存在时，由（i）知。
因此。（2）当直线的斜率存在时，由（i）知。
所以。所以，当且仅当时，等号成立。
综合（1）（2）得|om|·|pq|的最大值为。
解法二：因为。
所以。即当且仅当时等号成立。
因此 |om|·|pq|的最大值为。
（iii）椭圆c上不存在三点d，e，g，使得。
证明：假设存在，由（i）得。
因此d，e，g只能在这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，所以椭圆c上不存在满足条件的三点d，e，g.
2023年山东高考数学答案 理科
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2023年山东高考数学 答案 理科
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