三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17)（本小题满分12分）设数列满足。
i)求数列的通项； (ii)设求数列的前项和。
解：: i)
验证时也满足上式，
ii)，18（本小题满分12分）设分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数(重根按一个计).
i)求方程有实根的概率；
ii) 求的分布列和数学期望；
iii)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率。
解：:（i）基本事件总数为，若使方程有实根，则，即。
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，目标事件个数为。
因此方程有实根的概率为。
ii)由题意知，，则。
，故的分布列为。
的数学期望。
iii)记“先后两次出现的点数中有5”为事件m，“方程有实根” 为事件n，则，19（本小题满分12分）如图，在直四棱柱中，已知。
i)设是的中点，求证：;
ii)求二面角的余弦值。
解：:(i)连结，则四边形为正方形，且，为平行四边形，ii) 以d为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则。
设为平面的一个法向量，由得，取，则。
设为平面的一个法向量，由得，取，则。
由于该二面角为锐角，所以所求的二面角的余弦值为。
20)（本小题满分12分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西的方向处，此时两船相距20海里。当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
解：如图，连结，是等边三角形，在中，由余弦定理得。
因此乙船的速度的大小为。
答：乙船每小时航行海里。
21)（本小题满分12分）已知椭圆c的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆c上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.
i)求椭圆c的标准方程；
ii)若直线与椭圆c相交于a,b两点(a,b不是左右顶点),且以ab为直径的圆过椭圆c的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。
解：(i)由题意设椭圆的标准方程为。
(ii)设，由得。
以ab为直径的圆过椭圆的右顶点，解得。
且满足。当时，，直线过定点与已知矛盾；
当时，，直线过定点。
综上可知，直线过定点，定点坐标为。
22)（本小题满分14分）设函数，其中。
i)当时，判断函数在定义域上的单调性；
ii)求函数的极值点；
iii)证明对任意的正整数，不等式都成立。
解：(i) 函数的定义域为。
令，则在上递增，在上递减，当时，在上恒成立。
即当时，函数在定义域上单调递增。
ii）分以下几种情形讨论：
1）由（i）知当时函数无极值点。
2）当时，时，
时， 时，函数在上无极值点。
3）当时，解得两个不同解，.
当时，此时在上有唯一的极小值点。
当时， 在都大于0 ，在上小于0 ，此时有一个极大值点和一个极小值点。
综上可知，时，在上有唯一的极小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，函数在上无极值点。
iii） 当时，
令则。在上恒正，在上单调递增，当时，恒有。
即当时，有，对任意正整数，取得。
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