2023年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学。一、 选择题。
1） 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为。
a) (bc) (d)
2） 已知集合，则集合中元素的个数是。
a) 1 (b) 3 (c) 5 (d) 9
3） 已知函数为奇函数，且当时，则。
a） (b) 0 （c） 1 （d） 2
4）已知三棱柱abc-a1b1c1的侧棱与底面垂直，体积为 ,底面积是边长为的正三棱柱，若p为底面a1b1c1的中心，则pa与平面abc所成角的大小为。
abcd）5）将函数y=sin（2x +φ的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为。
（a） （b） （c）0 （d）
6）在平面直角坐标系xoy中，m为不等式组：2x-y-2≥0，x+2y-1≥0，3x+y-8≤0，所表示的区域上一动点，则直线om斜率的最小值为。
（a）2 （b）1 （c） （d）
7）给定两个命题若是q的必要而不充分条件，则p是的。
（a）充分而不必条件b）必要而不充分条件
c）充要条件d）既不充分也不必要条件。
8）函数的图象大致为。
9）过点作圆的两条切线，切点分别为a，b，则直线ab的方程为。
ab）cd）
10）用0，1，…，9十个数学，可以组成有重复数字的三位数的个数为。
a）243b）252 （c）261 （d）279
11）抛物线c1： (的焦点与双曲线c2：的右焦点的连线交c1于第一象限的点m.若c1在点m处的切线平等于c2的一条渐近线，则=
a） （b） （c） （d）
12）设正实数满足。则当取得最大值时，的最大值为。
a）0 （b）1 （cd）3
二、 填空题。
13）执行右面的程序框图，若输入的的值为0.25，则输入的n的值。
14)在区间[-3,3]上随机取一个数x，使得成立的概率为___
15)已知向量与的夹角1200，且||=3，||2，若，且，则实数的值为___
16）定义“正对数”：现有四个命题：
若，则。若，则。
若，则。若，则。
其中真命题有。
三、 解答题。
17）（本小题满分12分）
设△abc的内角a，b，c所对的边分别为，，.
ⅰ）求的值；
ⅱ）求sin（a-b）的值。
18）（本小题满分12分）
如图所示，在三棱锥p-abq中，pb⊥平面abq，ba=bp=bq，d，c，e，f分别是aq，bq，ap，bp的中点，aq=2bd，pd与eq交于点g，pc与fq交于点h，连接gh。
ⅰ）求证：ab//gh；
ⅱ）求二面角d-gh-e的余弦值。
19）（本小题满分12分）
甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率是。假设每局比赛结果互相独立。
1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率。
2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3：分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分x的分布列及数学期望。
20）（本小题满分12分）
设等差数列的前项和为，且，．
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）设数列的前项和，且（为常数），令 （·求数列的前项和．
21）（本小题满分13分）
设函数…是自然对数的底数， ）
ⅰ)求的单调区间、最大值；
ⅱ)讨论关于的方程根的个数．
22）（本小题满分13分）
椭圆：（）的左、右焦点分别是，,离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为l.
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接， ,设的角平分线。
交的长轴于点，，求的取值范围；
ⅲ）在（ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点。设直线，的斜率分别为，，若，试证明为定值，并求出这个定值．
2023年山东高考数学试题参***（理科）
一、选择题：
dcabb cadab db
二、填空题：
17）（本小题满分12分）
解：(ⅰ结合已知条件，由余弦定理，得，解得：，ⅱ在△中，由易得，结合（ⅰ）由余弦定理得。
所以。另法：此处可结合三角形由锐角三角函数定义。求得，）
18）（本小题满分12分）
解：(ⅰ证明：连接，，．分别，，，的中点，分别为△，△的重心，又∵，.
ⅱ)解法一：
为的中点，∴，又∵,
又已知平面，所以，可以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，．
设平面即平面的一个法向量为，则，∴，不妨令，则，，所以；
同理，可求得平面即平面的一个法向量为，所以 ，由题意知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为．
解法二：∵为的中点，又∵，∴
已知平面，又，平面，由(ⅰ)知，平面，，
为二面角的平面角；
由已知长度关系和位置关系，利用中点及重心性质在中易表示出、、,在中用余弦定理易求出二面角的余弦值为．
19）（本小题满分12分）
解：(ⅰ设甲队以，，胜利的概率分别为，，
则；所以甲队以，，胜利的概率分别为，，．
ⅱ)由题意，的所有可能取值为0，1，2，3．
所以的分布列为：
的数学期望为．
20）（本小题满分12分）
解：(ⅰ设等差数列的公差为，因为，所以，即，解得。
所以 .所以数列的通项公式为。
ⅱ)因为数列的前项和为，且 ①，所以时。
-②得，所以时，；
已知，数列的前项和为，所以，即。
④得：所以数列的前项和为：
21）（本小题满分13分）
解：(ⅰ函数的定义域为，所以，当时，当时，所以：
的单调增区间为；单调减区间为；
在时取得极大值也是最大值，即；
ⅱ)（参考，感觉不是正解）利用的图像，结合第一问对的单调性和最值的结论，讨论与0的关系，分类即可得出答案。
22）（本小题满分13分）
解：（ⅰ已知过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为，所以点在椭圆上，又，解解以上各式可得：，
所以椭圆的方程为：，ⅱ设，则，因为不是长轴端点，所以：； 即：；
因为点在的平分线上，所以，即，所以，若，则；
若，则，且，解得或（舍），所以；
由对称性知若，则，综上，的取值范围为．
ⅲ)因为直线和椭圆有且只有一个公共点，联立消得：
则，解得，所以。
即为定值。
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