2023年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1）若（i为虚数单位），则使的值可能是。
abcd．
2）已知集合，，则。
abcd．
3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
abcd．②④
4）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为。
abcd．，，
5）函数的最小正周期和最大值分别为。
abcd．，
6）给出下列三个等式：，，下列函数中不满足其中任何一个等式的是。
a． b． c． d．
7）命题“对任意的，”的否定是。
a．不存在， b．存在，
c．存在d．对任意的，
8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析出和分别为。
a．0.9，35b．0.9，45
c．0.1，35d．0.1，45
9）下列各小题中，是的充要条件的是。
：或；：有两个不同的零点．
；是偶函数．
abcd．①④
10）阅读右边的程序框图，若输入的是100，则输出的变量和的值依次是。
a．2500，2500b．2550，2550
c．2500，2550d．2550，2500`
11）在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是。
12）位于坐标原点的一个质点按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动五次后位`于点的概率是。
a． b． c． d．
第ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上．
13）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为。
14）设是不等式组表示的平面区域，则中的点到直线距离的最大值是。
15）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是。
16）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为。
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17）（本小题满分12分）
设数列满足，．
ⅰ）求数列的通项；
ⅱ）设，求数列的前项和．
18）（本小题满分12分）
设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）．
ⅰ）求方程有实根的概率；
ⅱ）求的分布列和数学期望；
ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率．
19）（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱中，已知，，．
ⅰ）设是的中点，求证：平面；
ⅱ）求二面角的余弦值．
20）（本小题满分12分）
如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
21）（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
ⅰ）求椭圆的标准方程；
ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
22）（本小题满分14分）
设函数，其中．
ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
ⅱ）求函数的极值点；
ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
参***。一、选择题。
1）d （2）b （3）d （4）a （5）a （6）b
7）c （8）a （9）d （10）d （11）c （12）b
二、填空题。
三、解答题。
17）（本小题满分12分）
解。当时，．
-②得，．在①中，令，得．
-③得。即，18）（本小题满分12分）
解：（ⅰ由题意知：设基本事件空间为，记“方程没有实根”为事件，“方程有且仅有一个实根”为事件，“方程有两个相异实数”为事件，则，所以是的基本事件总数为36个，中的基本事件总数为17个，中的基本事件总数为个，中的基本事件总数为17个．
又因为是互斥事件，故所求概率．
ⅱ）由题意，的可能取值为，则。
故的分布列为：
所以的数学期望．
ⅲ）记“先后两次出现的点数有中5”为事件，“方程有实数”为事件，由上面分析得，19）（本小题满分12分）
解法一：ⅰ）连结，则四边形为正方形，且，四边形为平行四边形．
又平面，平面，平面．
ⅱ）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，设为平面的一个法向量．
由，得 取，则．
又，设为平面的一个法向量，由，得。
取，则，设与的夹角为，二面角为，显然为锐角，即所求二面角的余弦为．
解法二：ⅰ）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，由题意知：，．又，平面，平面，平面．
ⅱ）取的中点，的中点，连结，由（ⅰ）及题意得知：，为所求二面角的平面角．
所以二面角的余弦值为．
解法三：ⅰ）证明：如解法一图，连结，设，，连结，由题意知是的中点，又是的中点，四边形是平行四边形，故是的中点，在中，又平面，平面，平面．
ⅱ）如图，在四边形中，设，故，由（ⅰ）得，即．
又，平面，又平面，取的中点，连结，由题意知：，又，．
为二面角的平面角．
连结，在中，由题意知：，取的中点，连结，在中，二面角的余弦值为．
20）（本小题满分12分）
解法一：如图，连结，由已知，又，是等边三角形，由已知，在中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．
答：乙船每小时航行海里．
解法二：如图，连结，由已知，在中，由余弦定理，由正弦定理。
即，在中，由已知，由余弦定理，乙船的速度的大小为海里/小时．
答：乙船每小时航行海里．
21）（本小题满分12分）
解：（ⅰ由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，椭圆的标准方程为．
ⅱ）设，联立。
得，又，因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，即，解得：，且均满足，当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点．
所以，直线过定点，定点坐标为．
22）（本小题满分14分）
解：（ⅰ由题意知，的定义域为，
设，其图象的对称轴为，当时，即在上恒成立，当时，当时，函数在定义域上单调递增．
ⅱ）①由（ⅰ）得，当时，函数无极值点．
时，有两个相同的解，时，时，时，函数在上无极值点．
当时，有两个不同解，时，即，．
时，，随的变化情况如下表：
由此表可知：时，有惟一极小值点，当时，此时，，随的变化情况如下表：
由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；
综上所述：时，有惟一最小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，无极值点．
ⅲ）当时，函数，令函数，则．
当时，，所以函数在上单调递增，又．
时，恒有，即恒成立．
故当时，有．
对任意正整数取，则有．
所以结论成立．
2023年高考理科数学 山东卷
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三 解答题 本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤。17 本小题满分12分 设数列满足。i 求数列的通项 ii 设求数列的前项和。解 i 验证时也满足上式，ii 18 本小题满分12分 设分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数 重根按一个计 i 求方...
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三 解答题 本大题共6小题，共74分。17 本小题满分12分 已知函数f x 为偶函数，且函数y f x 图象的两相邻对称轴间的距离为。求f 的值 将函数y f x 的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y g x 的图象，求g x 的单调递减区...