2024年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学试题答案与解析。
1.解析与互为共轭复数，所以，，所以。
2.解析，所以。
评注本题考查绝对值不等式的解法，指数函数的性质以及集合的运算。本题的易错点是绝对值不等式的求解。
3.解析要使函数有意义，需使，即，所以。
或。解之得或。故的定义域为。
4.解析因为“方程至少有一个实根”等价于“方程的实根的个数大于或等于”，因此，要做的假设是方程没有实根。
5解析因为，，所以，所以。
6.解析由得或或（舍）.
所以。评注本题考查利用定积分求面积。本题的易错点是忽视条件“在第一象限内”.
7.解析由题图可知，第一组和第二组的频率之和为，故该实验共选取的志愿者有人。所以第三组共有人，其中有疗效的人数。
为。8.解析如图，作出的图像，其中，则。
要使方程有两个不相等的实根，则函数与的图像有两个不同的交点，由图可知，.
评注本题考查方程的根与函数图像间的关系，考查学生利用数形结合思想分析问题、解决问题的能力。
9.解析作出不等式组表示的平面区域（如图中的阴影部分）.
由于，，所以目标函数在点处取得最小值，即。
解法一：即的最小值为。
解法二：表示坐标原点与直线上的点之间的距离，故的最小值为，即的最小值为。
评注本题考查线性规划与最值问题、考查学生运算求解能力以及数形结合和转化与化归思想的应用能力。
10.解析设椭圆和双曲线的离心率分别为和，则，.因为，所以，即，所以。故双曲线的渐近线方程为，即。
11.解析，输出。
12. 解析由，，得，即，所以。
13.解析如图，设，，到。
平面的距离为，到平面的距离为，则，，，所以。
评注本题考查三棱锥的体积求法以及等体积转化法在求空间几何体体积中的应用。本题的易错点是不能利用转化与化归思想把三棱锥的体积进行适当的转化，找不到两个三棱锥的底面积及相应高的关系，从而造成题目无法求解或求解错误。
14.解析，令，则。所以，即。所以，即的最小值为。
评注本题考查二项式定理及基本不等式的综合应用。考查学生推理理论证及运算求解能力。
15.解析函数的图像是以坐标原点为圆心，为半径的圆在轴上及其上方的部分。由题意可知，对任意，都有，即是点和点的中点，又恒成立，所以直线与半圆。
相离且。即解之得。所以实数的取值范围为。
评注本题考查新定义问题以及直线与圆的位置关系的应用。本题的易错点有两处：①不能正确理解“对称函数”的定义，造成题目无法求解；②忽视的隐含条件：直线。
与半圆相离，且直线在轴上的截距。
16.解析（）由题意知。
因为的图像经过点，所以即解得，.
）由（）知。由题意。
知。设的图像上符合题意的最高点为，由题意知，所以，即到点的距离为的最高点为。将其代入得，因为，所以。因。
此。由，，得，，所以函数的单调递增区间为，.
17.解析（）证明：因为四边形是等腰梯形，且，所以，又由是的中点，因此且。连接，在四棱柱中，因为，，可得，，所以四边形为平行四边形。因此，又平面， 平面，所以平面。
）解法一：连接，，由（）知且，所以四边形为平行四边形。可得，由题意，所以为正三角形，因此，，因此。
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。所以，，，因此，所以，.设平面的法向量，由得可得平面的一个法向量。
又为平面的一个法向量。因此。
所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为。
解法二：由（）知平面平面，过向引垂线交于，连接。由平面，可得，因此为二角面的平面角。在中，，，可得。所以。在中，所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为。
18. 解析（）记为事件“小明对落点在上的来球回球的得分为分” ，则，，；记为事件“小明对落点在上的来球回球的得分为分” ，则，，.记为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.
由题意，，由事件的独立性和互斥性，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为。
）由题意，随机变量可能的取值为，，，由事件的独立性和互斥，得，可得随机变量的分布列为：
所以数学期望。
19. 解析（）因为，，，由题意得，解得，所以。
）.当为偶数时，
当为奇数时，所以。
评注本题考查等差数列的通项公式，前项和公式和数列的求和，分类讨论的思想和运算求解能力、逻辑推理能力。
20. 解析（）函数的定义域为。
由可得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增。
所以的单调递减区间为，单调递增区间为。
）.由（）知，当时，函数在内单调递减，故在内不存在极值点；当时，设函数，.因为，当时，当时，，单调递增，故在内不存在两个极值点；
当时，得时，，函数单调递减，时，，函数单调递增。所以函数的最小值为。函数在内存在两个极值点，当且仅当解得。
综上所述，函数在内存在两个极值点时，的取值范围为。
评注本题考查了导数在研究函数的单调性和极致问题的应用，考查了分类讨论思想的运用以及学生的逻辑推理能力和运算求解能力，难度较大，在解决问题（）时极易发生分类讨论不全面或运算求解的错误。
21. 解析（）由题意知。设，则。因为，由抛物线的定义知，解得或（舍去）.由解得。所以抛物线的方程为。
）()由（）知，设，，因为，则，由得，故。故直线的斜率。
因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线方程。
得，由题意，得。设，则，，当时，，可得直线的方程为。
由，整理可得，直线恒过点。当时，直线的方程为，过点。
）由()知直线过焦点，所以。
设直线的方程为，因为点在直线上，故，设，直线的方程为，由于，可得，代入抛物线方程得。所以。
可求得，所以点到直线的距离为。
则的面积，当且仅当，即时等号成立。所以的面积的最小值为。
评注本题考查抛物线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及解析几何中的定点问题、最值问题和结论**性问题。本题综合性较强、难度较大，很好地考查了考生的逻辑思维能力和运算求解能力。本题的易错点时定点的确定。
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