2023年山东高考数学试题（文科）第22题解法。
吴金革。题目在平面直角坐标系中，已知椭圆。 如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点。
ⅰ）求的最小值；
ⅱ）若，i）求证：直线过定点；
ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由。
本题在知识上主要考查线段的中点、直线方程、直线过定点、圆的方程、椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、均值定理，在思想方法上主要考查了数形结合的思想、方程的思想、化归与整合的思想，在能力上主要考查学生应用所学知识分析解决问题的能力。它是山东省高考文科数学试题的压轴题，把解析几何的重点知识与不等式结合的难题。现把解法归结如下：
一、基本解法：
ⅰ）解法1：设直线的方程，由题意得。将代入，得。
由题意得，即。设，则，.由于线段的中点为， ，此时。
直线的方程为。又点在直线上，，即。，当且仅当时，等号成立，此时由得。
因此，当且时，有最小值。
解法2：设直线的方程，.将代入，得。
由题意得，即。设，则， .由于线段的中点为， ，此时。
直线的方程为。又点在直线上，，即。，当且仅当时，等号成立，此时由得。
因此，当且时，有最小值。
解法3：设，则两式相减，得。线段的中点为， ，直线的方程为。又点在直线上，，即。，当且仅当时，等号成立，此时设直线的方程，则，由，得。因此，当且时，有最小值。
ⅱ）（i）解法1：由得。又，，，由，得，直线的方程。故直线恒过定点。
解法2：将直线的方程为代入椭圆，解得，又，，由，得，.直线的方程。故直线恒过定点。
解法3：将直线的方程为代入椭圆，解得，又，，由，得，.直线的方程。故直线恒过定点。
（ii）解法1： ，若点，关于轴对称，则。将点的坐标代入直线的方程，整理得，即，解得（舍去）或。
，此时，，.由于的外接圆圆心在轴上，设的外接圆圆心为，，.此外接圆的半径为，外接圆的方程为。
解法2：由解法1，知，，.设的外接圆的方程为，将点，，的坐标代入圆的方程，解得。故此外接圆的方程为。
二、利用椭圆参数方程的解法。
解：（ⅰ设，其中，，.则， ，线段的中点为， ，直线的方程为。又点在直线上， .当且仅当时，等号成立。因此，当时，有最小值。
ⅱ）（i）将直线的方程为代入椭圆，得，又，，由，得， .直线的方程，即。故直线恒过定点。
ii）点，若点，关于轴对称，则点。将点的坐标代入直线的方程，整理得，解得（舍去）或。，此时，，.设的外接圆的方程为，将点，，的坐标代入圆的方程，解得。故此外接圆的方程为。
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