本文已发表在曲阜师范大学《中学数学杂志》2023年7期上。
2023年山东高考数学试题（理科）第22题解析。
济南第三职业中等专业学校 250001 吴金革。
题目：已知直线与椭圆交于两不同点，且的面积，其中为坐标原点。
ⅰ）证明和为定值；
ⅱ）设线段的中点为，求的最大值；
ⅲ）椭圆上是否存在点，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由。
本题是2023年山东高考理科数学试题的压轴题，在知识上主要考查直线方程、三角形的面积、直线与椭圆的位置关系、基本不等式、定值、最值、存在性问题，在方法上主要考查数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化的思想方法，在能力上主要考查学生运算能力，逻辑思维能力，灵活运用所学知识和方法探索问题、分析和解决问题的能力。现把本题的思路、方法和变化归结如下，供广大读者参考。
1 思路和解法。
思路一 （ⅰ分斜率是否存在两种情况设出直线的方程，与椭圆的方程联立，消去一个未知数，利用二次方程的韦达定理得弦长，再求点到直线的距离，表示出的面积，从而得出参数间的关系，随之确定、为定值。 （用参数表示，利用基本不等式确定的最值。 （是存在性问题，先假设存在，根据（ⅰ）的结论推出矛盾。
解法1：（ⅰ1）当直线的斜率不存在时，点关于轴对称，所以，.因为在椭圆上，所以①.又因为，所以②.由①、②得，此时，.
2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意知，将其代入，得，其中，即， 又，所以，因为点到直线的距离为，所以 .又，整理得，且符合，此时，.
综上所述，，，结论成立。
ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，由（ⅰ）知：,因此。
2）当直线的斜率存在时，由（ⅰ）知即，当且仅当，即时等号成立。
综合（1）（2）得的最大值为。
ⅲ）椭圆上不存在点，使得。
证明：假设存在，满足，由（ⅰ）得，，；解得， .因此只能从中选取， 只能从中选取， 因此只能在这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾， 所以椭圆上不存在满足条件的三点。
点评本解法的关键是设出直线的方程，并把它代入椭圆的方程，利用一元二次方程根与系数的关系，表示弦长，通过的面积揭示直线方程的两个参数间的关系。
思路二 （ⅰ根据点在椭圆上得出两个方程，求积式展开，结合用坐标表示的面积的等式平方，即可得出与的关系，确定与为定值。（ⅱ先利用与的关系，把用表示出来，确定的最值，也可直接用基本不等式解决。 （先假设存在，根据与的关系推出矛盾。
解法2：（ⅰ点在椭圆上， ，即，， 即①.又， ，即②.将②代入①，得，即，③.将③和，代入②，整理得。 .即，.
ⅱ），当且仅当时，取等号。 因此的最大值为。
利用基本不等式法） .即，当且仅当时，等号成立。 因此的最大值为。
ⅲ）椭圆上不存在点，使得。
证明：假设存在，满足，由（ⅰ）得④，⑤即。，.
由，得中至少有一个为，不妨，代入椭圆得。把代入④，得，代入椭圆得。把代入⑤，得，代入椭圆得。
把代入⑥，得，这与矛盾，故椭圆上不存在满足条件的三点。
点评本解法的关键是点在椭圆上所得等式和点的坐标表示的面积所得等式结合，找到与的关系。
思路三 （ⅰ利用椭圆的参数方程设出点的坐标，用坐标表示的面积，即可得出两参数间的关系，从而确定与为定值。（ⅱ利用两参数间的关系，把用一个参数表示出来，确定的最值。 （先假设存在，根据（ⅰ）中两参数的关系推出矛盾。
解法3：（ⅰ设，其中，且，， 即，或。 故和为定值。
ⅱ）不妨，（1）当时，.则，. 即，当且仅当，即或时，取等号。
2）当时，.则，. 即，当且仅当，即或时，取等号。
因此的最大值为。
ⅲ）椭圆上不存在点，使得。
证明：假设存在，满足， 由（ⅰ）得或，或，或。由或，或，则，，由或，得，所以，因此点只能在这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾， 所以椭圆上不存在满足条件的三点。
点评本解法的关键是点的坐标用三角函数表示出来，通过的面积揭示表示点坐标的两个参数间的关系。
2 变化与推广。
对本题进行变换能生成两道优秀的解析几何试题，解题的思路方法与本题类似。
首先，作一变换可得：
题目1：已知直线与圆交于两不同点，且的面积，其中为坐标原点。
ⅰ）证明和为定值；
ⅱ）设线段的中点为，求的值；
ⅲ）圆上是否存在点，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由。
其次把椭圆推广到一般情况，可得：
题目2：已知直线与椭圆交于两不同点，且的面积，其中为坐标原点。
ⅰ）证明和为定值；
ⅱ）设线段的中点为，求的最大值；
ⅲ）椭圆上是否存在点，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由。
本题凝聚着高考专家的聪明才智，以解析几何为依托，把函数、方程、不等式、三角等高中数学主要知识结合起来，突出重点主干知识，注重“知识交汇处”，全面考查高中数学四大思想方法，对考生的数学基础素养、创新意识和思维能力要求很高。本来考生做到这个题时间已经所剩无几，而第一问就设置了定值问题，思考起点过高，笔者参加了高考阅卷，绝大多数考生对本题望而却步，更不用说后边的两问最值和存在性问题了，导致平均得分和区分度过低，不利于高校对考生的选拔。由于高考压轴题既是对考生能力的考查，也是对考生耐力的考查，建议压轴题的命题年年有创新，题型、内容和难度相对稳定，突出考查数学主干知识，注重通性通法，合理调控综合度，几问小题的设置要入门低、分层次、有梯度，多角度的考查考生的数学素养和能力，增加区分度和信度，这样才有利于高校对人才的选拔。
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