本文已发表在曲阜师范大学《中学数学杂志》2023年7期上。
2023年山东高考数学试题（理科）第21题解析。
济南第三职业中等专业学校 250100 吴金革。
题目在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为。
ⅰ）求抛物线的方程；
ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
ⅲ）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，直线与⊙有两个不同的交点，求当时，的最小值。
本题是2023年山东高考理科数学试题的两道压轴题之一，是解析几何知识与函数、导数、方程、不等式等知识的交汇题，在知识上主要考查直线方程、抛物线、直线与抛物线的位置关系、圆、直线与圆的位置关系、弦长公式、曲线导数的几何意义、利用函数的导数求最值、存在性问题，在方法上主要考查数形结合、函数与方程、等价转化的思想方法，在能力上主要考查学生运算能力，逻辑思维能力，灵活运用所学知识探索问题、分析和解决问题的能力。现把本题的思路分析、解题方法和推广归结如下。
思路分析 （ⅰ由抛物线的标准形式得点的坐标和准线方程，由圆心在弦的中垂线上得点的纵坐标，再由点到抛物线的准线的距离列出方程，确定的值。
ⅱ）存在性问题（山东高考数学解析几何试题连续五年都考查了存在性问题）的常用方法是：先假设结论存在，进行演绎推理，若推出矛盾，则否定假设；若推出合理的结果，说明假设成立。 由于圆有较多的几何性质，所以利用圆的性质解答，既可优化思路又可使方法丰富多彩。
思路1：先求切线的方程，结合弦的中垂线方程解点的坐标，再由点在弦的中垂线上即可。
思路2：先由点在弦、的中垂线上，再结合切线斜率的不同形式表示，列出方程思考。
思路3：用待定系数法得⊙的方程，点的坐标满足⊙的方程，再由直线斜率的不同形式表示，列出方程思考。
思路4：先求切线的方程，结合弦的中垂线方程解点的坐标，连结，取线段的中点，由圆的垂径定理知，对应直线斜率的积为即可。
思路5：连结，取线段的中点，由圆的垂径定理知，对应直线斜率的积为，再由切线斜率的不同形式表示，列出方程思考。
思路6：先求切线的方程，结合弦的中垂线方程解点的坐标，再延长交⊙于点，连结，则，利用向量的数量积思考。
思路7：切线、线段和的中垂线对应的方程联立来思考。
ⅲ）思路1：先确定⊙的方程，把直线的方程分别与抛物线的方程、⊙的方程联立，利用弦长公式求出，是关于的函数，再通过换元，利用导函数求最小值。
思路2：与思路1的不同之处是换元，利用导函数求最小值。
思路3：与前两个思路的不同之处是不换元，利用两次求导函数，求最小值。
解题方法 （ⅰ解：由题意知，圆心**段的中垂线上，所以点的纵坐标为。 又抛物线的准线方程为，所以，即。 因此抛物线的方程为。
ⅱ）解法1：假设存在点满足条件，抛物线在点出的切线斜率为，得直线的方程为。 令，得，所以点。
又，所以 ，即。 又，所以，此时。 故存在点，使得直线与抛物线相切于点。
点评：用导数的方法求曲线的切线斜率简洁、方便，也可以用待定系数法设出切线的方程，与抛物线的方程联立，消一个未知数，一元二次方程的判别式为零来确定切线斜率。
解法2：假设存在点满足条件，点，设点，由，得，解得。 又抛物线在点出的切线斜率为，直线的斜率为，所以，即。 由此存在点，使得直线与抛物线相切于点。
解法3：假设存在点满足条件，点，设点，则⊙的半径为。 所以⊙的方程为。 由于点在⊙上，所以，解得。 以下同法2.
解法4：假设存在点满足条件，同法1求出点。
连结，设线段的中点为，则。 由，得。 又直线的斜率为，直线的斜率为，所以，即，故存在点，使得直线与抛物线相切于点。
点评：可用向量确定；也可以连结，取线段的中点，由圆的垂径定理知，对应直线斜率的积为或，确定；.
解法5：假设存在点满足条件，连结，设线段的中点为，则。 由，得。 又直线的斜率为，所以直线的斜率为。 设点，则 ，即。 以下同法2.
点评：可用向量确定点的横坐标与的关系；也可以连结，取线段的中点，由圆的垂径定理知，对应直线斜率的积为或，确定点的横坐标与的关系。
解法6：假设存在点满足条件，同法1求出点。
延长交⊙于点，连结，则，. 又，，所以，即。 故存在点，使得直线与抛物线相切于点。
点评：也可以延长交⊙于点，连结，由中点坐标公式确定点的坐标，由直径对的圆周角为直角得，再利用向量的数量积确定。
解法7：假设存在点满足条件，由法1知：直线的方程为①.
由法5知：线段的中垂线方程为②. 又点**段的中垂线方程③上，所以联立①②③得方程组。
把③代入①②整理得方程组，消得。又，所以。故存在点，使得直线与抛物线相切于点。
点评：也可以利用直线、线段和的中垂线对应的方程联立得到的方程组来解。
ⅲ）解法1：当时，点，⊙的半径为。 所以⊙的方程为。 设点的坐标分别为， ，由消，得。 由于，，，所以 .
由消，得。 由于 ，，所以 . 因此 .
设，则。 令，，又，所以函数在是增函数，即当时有最小值。 故当时，有最小值。
解法2：同法1求出。
设，则，.令，，则，当时，，所以在上是增函数。 所以有最小值。 故当时，有最小值。
解法3：同法1求出。
令 ， 则。 设，则 . 再设，则。
而在上是增函数，最小值，显然在上大于0，所以在上是增函数。 又，所以在上总大于0，即。 所以在上是增函数，最小值为。
故当时，有最小值。
推广本题推广到一般形式为：在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为。
ⅰ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
ⅱ）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，直线与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值。
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