本文已发表在安徽省教育厅主管，合肥师范学院、安徽师范大学数学系、安徽数学会主办的《中学数学教学》第5期上（2012.10.15出版）
2023年山东高考数学试题（理科）第22题解析。
济南第三职业中等专业学校吴金革 (邮编250100)
题目已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．
ⅰ）求的值；
ⅱ）求的单调区间；
ⅲ）设，其中为的导函数．证明：对任意，．
本题是2023年山东高考数学理科试题函数问题压轴题，在知识上主要考查函数的定义域、单调性，导数、导数的几何意义，不等式的证明；在思想方法上主要考查高中数学中函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化四大思想方法；在能力上主要考查运算能力、观察能力、灵活运用所学知识分析和解决问题的能力。 以下是本题的思路、方法和评析，供大家参考。
ⅰ）思路：先确定函数的定义域，再由导数公式和运算法则求出的导函数，最后由导数的几何意义得，从而求出的值。
解：的定义域为，曲线在点处的切线与轴平行，，即。
点评：本题第一问考查函数的定义域、导数的公式、导数的运算法则、导数的几何意义基础意味浓厚，学生易于入手，从学生卷面看问题主要是：1.
导数运算法则、幂的运算法则记错，如、、；2.曲线在点处的切线与轴平行转化为、或。 说明学生对基础知识把握不牢固，要加强双基教学。
ⅱ）思路：把的值代入，，观察时的值，及在分所成两个区间上的符号，确定的单调区间。
解：由，得，，
令，，而。由观察知，当时，，；当时，，.
的单调递增区间为，单调递减区间为。
点评：本题第二问通过导数求函数的单调区间，一般情况下学生会先求导函数的零点，列出在相应区间上的变化情况，确定函数的单调区间，或解不等式得的范围，确定函数的单调区间，但是是超越方程，是超越不等式，学生无法真正解出方程、不等式，只能通过观察得出结果，这是与常规考试中求函数单调区间的一般步骤的不同之处。 可是学生卷面上，也出现了几种判断的零点及对应区间上符号的好方法：
1. 令，，则，令，则。当时，，，当时，，是减函数，而，在上，在上。
故当时，，；当时，，.2.令，，则，是减函数，而，当时，，；当时，，.
3. 令，，在做出函数，的图像，如图1，则当时，，；当时，，.
ⅲ）思路：观察的表达式，构造函数，，考查的单调性，确定其最值；再通过构造函数限定的范围，思路1：设，，通过，确定单调性，限定的范围；思路2：
设，，通过，确定单调性，限定的范围，得出的范围；最后利用不等式的性质得出结论。
证法1： ，
由，，得，令，则。
当时，，是增函数；当时，，是减函数。
的最大值为，即对于， 恒成立。
设，，则恒成立，在上为减函数， ，即。
对于， .证法2： ，由证法1知，对于， 恒成立。
设，，则恒成立，在上为增函数， ，即，.
对于， ，即。
故对于， .
点评：本题第三问常规的思维方式是对函数求导数，考察的零点及相应区间上的符号，确定函数的单调区间和最大值，但是的表达式非常繁杂，无法找出零点，进而无法确定区间，更谈不上相应区间上的符号了。 要解决它，只能是构造函数，，，或，，结合不等式的性质解决，对绝大多数考生来说这一问不得分。
本题虽然是山东高考理科数学试题的最后一道压轴题，三问设置，由易到难，逐层递进，且第一问入门注重基础，第二问思路常规，观察的零点和对应区间上的符号有点难度，体现了从基础到能力的过渡，但考生前两问的解答情况较好，而第三问考查能力的层次陡升，从卷面看很少考生能得分，给我的感觉是能得分的考生搞过数学竞赛。 本题以导数为载体，把函数的单调性、图象和性质、不等式的证明以及导数的应用有机地结合在一起，突出能力立意，强调对数学基础知识、基本思想的考查，试题设计较好地考查了考生的数学素养和数学洞察力，具有较高的区分度，使得不同水平的考生在此各显身手，获得与自己的真实能力和水平相对应的成绩。 题目避免了常规题目的俗套设计和多参数化的繁琐讨论，入口宽，梯度大，降低了运算量，提高了思维量。
本题设计的创新和突破，有利于引导素质教育的健康发展，有利于引导中学新课程改革的进一步深化，也有利于高校选拔优秀人才。
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