初三数学竞赛题（含答案）
全卷满分120分考试时间90分）
姓名班级指导教师得分___
一 .单项选择题（每题6分，共30分）
a. -22016 b. -2 c. 22016d. 2
2.若关于x的多项式x2-6x+m2是一个完全平方式，则m=(
a. 3 b. ±3 c. 9 d. ±9
3.圆锥的侧面展开是圆心角为90°的扇形，则圆锥的母线与底面半径之比为（ ）
a . 6:1 （b）. 4:1 （c）. 3:1 （d）. 2:1
4.如图，在矩形abcd中，ab=10，bc=5，点e、f分别在ab、cd上，将矩形abcd沿ef折叠，使点a、d分别落在矩形abcd外部的点a1、d1处，则阴影部分图形的周长为（ ）
a. 15 b. 20 c. 25 d. 30
5.如图，矩形中，，是边上一点， （为大于2的整数），连接，作的垂直平分线分别交、于点，，与的交点为，连接和。记四边形的面积为，矩形的面积为，当时。
a. 3 b. 4 c. 6 d. 8
第4题图第5题图。
二 .填空题（每题6分，共30分）
6.已知2cos2β+3sinβ-3=0,则锐角。7.化简。
9.已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是___
10.如图，点a1，a2依次在的图象上，点b1，b2依次在x轴的正半轴上，若δa1ob1 ,δa2b1b2均。
为等边三角形，则点b2的坐标为．
三．解答题（每题20分，共60分）
11.为了迎接“十一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
1）求m的值；
2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠**活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元**，乙种运动鞋**不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
12. 如图，抛物线y=x2－2x+c的顶点a在直线l：y=x－5上．
1）求抛物线顶点a的坐标；
2）设抛物线与y轴交于点b，与x轴交于点c．d（c点在d点的左侧），试判断△abd的形状；
3）在直线l上是否存在一点p，使以点p、a．b．d为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点p的坐标；若不存在，请说明理由．
13.如图，在△abc中，已知ab=ac=5，bc=6，且△abc≌△def，将△def与△abc重合在一起，△abc不动，△abc不动，△def运动，并满足：点e在边bc上沿b到c的方向运动，且de、始终经过点a，ef与ac交于m点．
1）求证：△abe∽△ecm；
2）**：在△def运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出be的长；若不能，请说明理由；
3）当线段am最短时，求重叠部分的面积．
数学竞赛答案。
4. d 5. c
6.300 7.2 8.100 9. k＞1/2, 且k≠1 10. (0)
11. 解：（1）依题意得，=，整理得，3000（m﹣20）=2400m， 解得m=100，经检验，m=100是原分式方程的解， 所以，m=100；
2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，根据题意得，解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，所以，不等式组的解集是95≤x≤105，x是正整数，105﹣95+1=11，共有11种方案；
3）设总利润为w，则w=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），当50＜a＜60时，60﹣a＞0，w随x的增大而增大，所以，当x=105时，w有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
当a=60时，60﹣a=0，w=16000，（2）中所有方案获利都一样；
当60＜a＜70时，60﹣a＜0，w随x的增大而减小，所以，当x=95时，w有最大值，即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
12. 解：（1）∵顶点a的横坐标为x==1，且顶点a在y=x－5上，当x=1时，y=1－5=－4，∴a（1，－4）．
2）△abd是直角三角形．
将a（1，－4）代入y=x2－2x+c，可得，1－2+c=－4，∴c=－3，y=x2－2x－3，∴b（0，－3）
当y=0时，x2－2x－3=0，x1=－1，x2=3 ∴c（－1，0），d（3，0），bd2=ob2+od2=18，ab2=（4－3）2+12=2，ad2=（3－1）2+42=20，bd2+ab2=ad2， ∴abd=90°，即△abd是直角三角形．
3）存在．由题意知：直线y=x－5交y轴于点a（0，－5），交x轴于点f（5，0）
oe=of=5，又∵ob=od=3
△oef与△obd都是等腰直角三角形。
bd∥l，即pa∥bd
则构成平行四边形只能是padb或pabd，如图，过点p作y轴的垂线，过点a作x轴的垂线并交于点c
设p（x1，x1－5），则g（1，x1－5）
则pc=|1－x1|，ag=|5－x1－4|=|1－x1| pa=bd=3
由勾股定理得：
1－x1）2+（1－x1）2=18，x12－2x1－8=0，x1=－2，4
p（－2，－7），p（4，－1）
存在点p（－2，－7）或p（4，－1）使以点a．b．d．p为顶点的四边形是平行四边形．
第12题图第13题图。
13.（1）证明：∵ab=ac，∴∠b=∠c，△abc≌△def，∴∠aef=∠b，又∵∠aef+∠cem=∠aec=∠b+∠bae，∠cem=∠bae，∴△abe∽△ecm；
2）解：∵∠aef=∠b=∠c，且∠ame＞∠c，∠ame＞∠aef， ∴ae≠am；
当ae=em时，则△abe≌△ecm，ce=ab=5，be=bc－ec=6－5=1，当am=em时，则∠mae=∠mea，∠mae+∠bae=∠mea+∠cem， 即∠cab=∠cea，又∵∠c=∠c， ∴cae∽△cba， ∴ce=， be=6－=；
3）解：设be=x， 又∵△abe∽△ecm，， 即：，cm=－+x=－（x－3）2+，am=－5－cm═（x－3）2+，当x=3时，am最短为，又∵当be=x=3=bc时， ∴点e为bc的中点，ae⊥bc， ∴ae==4，此时，ef⊥ac，em==，s△aem=．
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