九年级数学竞赛试卷。
满分１２０分，考试时间１２０分钟)
一、选择题：（每题５分，共３０分）
1．将正偶数按下表排成5列。
则2 00８应该排在 (
a．第2 5 1行，第5列 b．第2 5 0行，第3列。
c．第5 0 0行，第2列 d．第5 0 1行，第1列。
．如图，在一个棱长为6cm的正方体上摆放另一个正方体，使得上面正方体的四个顶点恰好均落在下面正方体的四条棱上，则上面正方体体积的可能值有（ ）
a．1个 b．2个 c．3个 d．无数个。
．轮船在河流中逆流而上，下午５时，船长发现轮船上的一橡皮艇失落水中，船长马上命令掉转船头寻找，经过了一个小时追上了顺流而下的橡皮艇。如果轮船在整个过程中的动力不变，那么据此判断，轮船失落橡皮艇的时间为（ ）
a．下午１点 b．下午２点 c．下午３点 d．下午４点。
．某同学用牙膏纸盒制作一个如图所示的笔筒，笔筒的筒底为长4.5厘米，宽3．4厘米。
的矩形。则该笔筒最多能放半径为0．4厘米的圆柱形铅笔 (
a．20支 b.2l支 c．2 4支 d．2 5支。
第４题图。．对于直角坐标平面内的任意两点ａ（x1,y1）,b(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：
∣ａｂx2-x1∣+∣y2-y1∣，给出下列三个命题：
1 若点ｃ**段ａｂ上，则。
2 在⊿ａｂ中，若∠ｃ＝则∣∣ａ2＋∣∣2＝∣∣2
3 在⊿ａｂ中。
其中真命题的个数为（ ）
．０个 ｂ．个 ｃ．个 ｄ．个。
．已知一元二次方程ax2＋bx＋c=0两根为x1 、x2 ，x2+x1 =-如果抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（1，2），若abc＝4，且a≥b≥c，则|a|＋|b|＋|c|的最小值为（ ）
二、填空题（每题５分，共３５分）
．已知，y=4cosxsinx＋2cosx－2sinx－1,0≤x≤90°.问x为值时，y可以取非负值。
．有一块半径为ｒ的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ａｂｃ的形状，它的下底ａｂ是圆ｏ的直径，且底ｃｄ的端点在圆周上，试写出梯形周长y和腰长x的函数关系式。
．在⊿ａｂ中边上的高ａｄ＝能完全覆盖⊿ａｂ的圆的半径ｒ的最小值为。
10．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高ab=h，灯柱的高op=, 若李华在点a朝着影子的方向以v1匀速行走，则他影子的顶端在地面上移动的速度v2为。
11．如图，延长四边形ａｂｃ的四边分别至ｅ、ｆ使ａｂ＝nｂｅ，nｃｆ，nｄｇ，nａｈ(n﹥0)，则四边形ｅｆｇ与四边形ａｂｃ的面积之比为用含n的代数式表示)．
12．已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系为。
13．设以边形a1a2a3…an中，有m个点b1，b2，b3，…，bm，连接它们成一张互相毗邻的三角形网(n=6，m=4时的情形如图)，称每个小三角形为一个“网眼"，求网中共有个“网眼” (用含n，m的代数式表示)．
三．解答题（１４题１２分，１５题１３分，１６题１４分，１７题１６分，共５５分）
14．（1２分）有１０个不同的球，其中有２个红球，３个白球，５个黄球。若取得１个红球得５分；取得１个白球得２分；１个黄球得１分。今从中取出５个球，求使总分大于１０分且小于１５分的取法有多少中？
15．（1３分）在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素对应相等，这两个三角形也未必全等。
试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长。
为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰）。
16. （1４分）对于某一自变量为x的函数，若当x=x0时，其函数值也为x0，则称点(x0，x0)为此函数的不动点．现有函数y=，(1)若y=有不动点(4，4)，(一4，-4)，求a，b．
(2)若函数y=的图像上有两个关于原点对称的不动点，求实数a，b应满足的条件．
(3)已知a=4时，函数y=仍有两个关于原点对称的不动点，则此时函数y=
的图像与函数y= 的图像有什么关系？与函数y= 的图像又有什么关系？
17．（1６分）
1)如图，直线ab交x轴于点a(2，0)，交抛物线y＝ax2于点b(1，)，点c到△oab各顶点的距离相等，直线ac交y轴于点d。当x＞0时，在直线oc和抛物线y＝ax2上是否分别存在点p和点q，使四边形dopq为特殊的梯形？若存在，求点p、q的坐标；若不存在，说明理由。
2)：在(1)题中，抛物线的解析式和点d的坐标不变(如图)。当x＞0时，在直线y＝kx(0＜k＜1)和这条抛物线上，是否分别存在点p和点q，使四边形dopq为以od为底的等腰梯形。
若存在，求点p、q的坐标；若不存在，说明理由。
参***。一、选择题1-6：addbbb
二、填空题7：0≤x≤３0° 8：y=-x2/r+2x+4r 9：７.10：
11：(n2+2n+2)：n 12：或。
或，为小于的任意锐角或．
13：s(n,m)=n+2m-2
14：设取红球、白球、黄球分别为x, y, z个，０≤x≤２，y≤３，z≤５
则１０﹤x＋２y＋z﹤１５x＋ y＋z＝５，分类：
1 当x＝０时，y不存在。
2 当x＝１时，１﹤y﹤６，取y＝２，
3 当x＝２时，－３y﹤２，取y＝０，
取法总数为１１０种。
15：⑴如下图，△abc与△是相似的（相似比为），但它们并不全等，显然它们之中有五对元素是对应相等的。
容易知道，要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的。
设小△abc的三边长分别为a、b、c，且不妨设a＜b＜c，由小△abc到大△的相似比为k，则k＞1。
△的三边长分别为ka、kb、kc，且a＜ka＜kb＜kc
在△abc中，与△中两边对应相等的两条边只可能是b与c
b＜c＜kc
在△中，与b、c对应相等的两条边只可能是ka、kb
由a到b、由b到c应具有相同的放大系数（用高中的数学语言来讲，a、b、c成公比为k的等比数列），这个系数恰为△abc与△的相似比k。
下面考虑相似比k所受到的限制：
△abc的三边长分别为，且a＞0，k＞1
解之得 1＜k＜ （注：≈1.168）
因此构造反例时，只要先选取一个正数a作为△abc最小边的长，再设定一个1～1.168之间的放大系数k，从而写出另外两条边的长。然后在△abc的基础上，以前面的放大系数k为相似比，再写出另一个△的三边长。
通过这种方法，可以构造出大量符合题意的反例。
16：(1)由题意，得解得。
2)令=x，得3x+a=x2+bx(x≠-b)
即 x2+(b—3)x-a=o．
设方程的两根为x1，x2，则两个不动点(x1，x2)，(x2，x2)，由于它们关于原点对称，所以x1+x2=0，∴，解得，又因为x≠-b，即 x≠-3，所以以a≠9，因此a，b满足条件a>0且a≠9，b=3．
(3)由(2)知b=3，此时函数为y=，即y=3-．
函数y=的图像可由y=-的图像向上平移3个单位得到．
又函数y=-的图像可由函数y=-的图像向左平移3个单位得到，所以函数y=的图像可由函数y=-的图像向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到．
17：如图(1) ab:y=- x+2 3
y= 3 x2
e(1,0) c(1, 3 /3) oc: y= 3/3 x
ac:y= y= 3/3 x +2 3 /2
od=2 3 / 3当。
od pq 时 ,(1)dq=op时，四边形dopq为等腰梯形如图(1)
由题意得，三角形ocd为等边三角形，所以q是ad与抛物线的交点。
3 /3 x+2 3 /3 = 3 x2
q(2/3,4 3 /9),p(2/3,2 3 /9)
2)∠odq=900时，四边形dopq为直角梯形如图(2)√
q(√6 /3,2√3 /3)p(√6 /3, √2 /3)
当dq//op时。
1) od=pq p(2,2√3 /3)
2) ∠opq=900时 p(3/2, √3 /2)
所以p1(2/3,2√3 /9),q1(2/3,4√3 /9),p2(2,2√3 /3),q2（ 1,√3）,p3(√6 /3, √2 /3) q4(√6 /3,2√3 /3), p4(3/2, √3 /2),q4(1, √3 )
q(√3(-k+√k2+8)/6, √3(k2-k√k2+8+4)/6)
p(√3(-k+√k2+8)/6, √3(-k2+k√k2+8)/6)
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