2023年九（上）数学竞赛试题。
(考试时量：60分钟满分：100分)
一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题5分，共30分）
、若不等式组的解集是x>3，则m的取值范围是。
a. m>3b．m≥3c．m≤3d．m<3
2、用去分母方法解分式方程，产生增根，则m的值为（ ）
a.–1或–2b. 1或–2c.1或2d. –1或2
3、 已知，，，则a,b,c三个数的大小关系是。
abcd.
4、点p是直线上一动点，o为原点，则|op|的最小值为( )
a. 2bcd. 4
5、已知梯形abcd中，ad∥bc，对角线ac、bd交于o，△aod的面积为4，△boc的面积为9，则梯形abcd的面积为（ ）
a）25b）24c）22d）26
6、矩形纸片abcd中，ab=3cm，bc=4cm，现将纸片折叠压平，使a与c重合，设折痕为ef，则重叠部分△aef的面积等于（ ）
a）二。填空题：(每题6分，共36分)
7、已知。8、方程的解为。
9、在△abc中，ab＝10，ac＝26，bc＝10，设能完全覆盖△abc的圆的半径为r．
则r的最小值是。
10、若是方程的两个实数根，则的值。
11、分解因式。
12、已知为实数，则分式的最小值为。
三、解答题（本大题共3题，13题10分，14,15每题12分，共34分）
13、如图：已知△abc，e为ab的中点，d为ae的中点，且ae=ac,求证：bc=2cd
15、如图：抛物线经过a（－3，0）、b（0，4）、c（4，0）三点。
（1） 求抛物线的解析式。
（2）已知ad = ab（d**段ac上），有一动点p从点a出发，沿线段ac以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点q以某一速度从点b沿线段bc移动，经过t 秒的移动，线段pq被bd垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点m，使mq+mc的值最小？若存在，请求出点m的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线的对称轴为）
参***及评分标准：
一．选择题：（每题5分，共32分）
1－6：cbb，cad
二．填空题：（每题4分，共32分）
78. x=4（多一个答案－1的算错9. 1310. 24
三、解答题：（每题12分，共36分）
13、证明：设bc的中点为f,连接ef,易知：ac=2ef=ae=2de
则ef=de,又ef∥ac,则∠fec=∠ace=∠aec,又ec=ec
则△edc≌△efc(sas),则fc=dc=,即bc=2cd
14、（1）购进c种玩具套数为：50－x－y2分）
（2）由题意得整理得……（5分）
整理得： …7分。
② 购进c种电动玩具的套数为：
据题意列不等式组，解得 ……9分。
∴x的范围为，且x为整数的最大值是10
在中，＞0 ∴p随x的增大而增大。
当x取最大值23时，p有最大值，最大值为595元．……11分。
此时购进a、b、c种玩具分别为23套、16套、11套．……12分）
15、（1）设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x － 4), 因为b（0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) 0 － 4 )解得a=
所以抛物线解析式为3分。
2）连接dq，在rt△aob中，
所以ad=ab= 5，ac=ad+cd=3 + 4 = 7，cd = ac － ad =7 – 5 = 2
因为bd垂直平分pq，则pd=qd，pq⊥bd，所以∠pdb=∠qdb
因为ad=ab，所以∠abd=∠adb，∠abd=∠qdb，所以dq∥ab
所以∠cqd=∠cba。∠cdq=∠cab，所以△cdq∽ △cab
即。所以ap=ad – dp = ad – dq=5 –=
所以t的值是。
3）因为抛物线的对称轴为。
所以a（－ 3，0），c（4，0）两点关于直线对称。
连接aq交直线于点m，则mq+mc的值最小。
过点q作qe⊥x轴于e，所以∠qed=∠boa=90°
dq∥ab，∠ bao=∠qde， △dqe ∽△abo 则：
即。所以qe=，de=，所以oe = od + de=2+=，所以q（，）
设直线aq的解析式为。
则由此得。所以直线aq的解析式为联立。
由此得所以m
则：在对称轴上存在点m，使mq+mc的值最小。
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