育才教育-八年级数学竞赛试题。
一、选择题：
1．方程组的解的个数为（ ）
2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）
a） 14 （b） 16 （c）18d）20
3．已知三个关于x的一元二次方程，恰有一个公共实数根，则的值为（ ）
a） 0 （b）1 （c）2 （d）3
4．若，则的值是（ ）
a）1 （b）0 （c）-1 （d）2
5．若，则一次函数的图象必定经过的象限是（ ）
a）第。一、二象限b）第。
一、二、三象限
c）第。二、三、四象限 （d）第。
三、四象限。
6．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )
a)1个 (b) 2个 (c) 3个 (d)无穷多个。
7．如图在四边形abcd中，∠dab=∠bcd=90°，ab=ad，若这个四边形的面积是10，则bc+cd等于（ ）
ab． cd．
8、已知一组正数x1,x2,x3,x4,x5的方差，则关于数据，的说法：（1）方差为；（2）平均数为2；（3）平均数为4；
4）方差为4，其中正确的说法是。
a）（1）与（2） （b）（1）与（3） （c）（2）与（4） （d）（3）与（4）
二、填空题：
9、已知对所有的实数x,恒成立，则m可取得的最大值为___
10.已知方程的方程有一个公共根，则实数m这两个方程的公共根。
11.设a, a + 1, a + 2为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是。
12．如图，，则n＝ ．
13．已知对于任意正整数n，都有 ，则。
三、解答题：
14．已知a，b都是正整数，试问关于x的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。
15、如图△abc，d是△abc内一点，延长ba至点e，延长dc至点f，使得ae=cf，g，h，m分别为bd，ac，ef的中点，如果g，h，m三点共线。
求证：ab=cd。
16.兰溪市六洞山自然生态风景旅游区，山青水秀，吸引着各方游客。“五一”**周为吸引更多的游客，管理处在普通票价每人a元的基础上，订出两种团队票优惠方案：
甲方案是团队中两人按原票价购买，其余每人优惠25%；乙方案是按团队人数每人均优惠20%。某团队共18人，应选择哪种优惠方案更合算，共可比另一方案节省多少元？
育才教育-八年级数学竞赛试题及答案。
一、选择题：
1．方程组的解的个数为（ ）
a）1 （b） 2c） 3 （d）4
答：（a）．
解：若≥0，则于是，显然不可能．
若，则 于是，解得，进而求得．
所以，原方程组的解为只有1个解．
2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）
a） 14 （b） 16 （c）18d）20
解：用枚举法：
红球个数白球个数黑球个数种数。
所以，共16种．
3．已知三个关于x的一元二次方程，恰有一个公共实数根，则的值为（ ）
a） 0 （b）1 （c）2 （d）3
解：设是它们的一个公共实数根，则，．
把上面三个式子相加，并整理得。
因为，所以．
于是。故选（d）．
4．若，则的值是（ ）
a）1 （b）0 （c）-1 （d）2
答案：c解：由，得，所以1
5．若，则一次函数的图象必定经过的象限是（ ）
a）第。一、二象限b）第。
一、二、三象限
c）第。二、三、四象限 （d）第。
三、四象限。
答案：a解：由已知可得，当时，，，直线过第。
一、二、三象限；
当时，，，直线过第。
一、二、四象限．
综合上可得，直线必定经过的象限是第。
一、二象限．
6．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )
a)1个 (b) 2个 (c) 3个 (d)无穷多个。
答案：c解：设直角三角形的两条直角边长为()，则。
a,b,k均为正整数），化简，得，所以或．
解得或或即有3组解．
7．如图在四边形abcd中，∠dab=∠bcd=90°，ab=ad，若这个四边形。
的面积是10，则bc+cd等于b ）
ab． cd．
8、已知一组正数x1,x2,x3,x4,x5的方差，则关于数据，的说法：（1）方差为；（2）平均数为2；（3）平均数为4；（4）方差为4，其中正确的说法是。
a）（1）与（2） （b）（1）与（3） （c）（2）与（4） （d）（3）与（4）
解：，∴3）正确
1）正确故选（b）
二、填空题：
9、已知对所有的实数x,恒成立，则m可取得的最大值为___
解：当－1≤x≤2时，的最小值为3，∵≥0，当x=1时，的最小值为3，∴3≥m,m的最大值为3。
10.已知方程的方程有一个公共根，则实数m
这两个方程的公共根。
解：∵a是这两个方程的公共根，则。
由（1）×3 -（2）×2得 ma = 15
若 m = 0，则这两个方程无公共根；
若m≠0，则。
将代入（1），得。
解之得m = 5，因此，当m = 5时，a = 3；当 m = 5时，a = 3。
11.设a, a + 1, a + 2为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是。
钝角三角形的三边a, a + 1, a + 2满足：
12．如图，，则n＝ ．
答：6．解：如图，设af与bg相交于点q，则。
于是。所以，n＝6．
13．已知对于任意正整数n，都有，则。
答：．三、解答题：
14．已知a，b都是正整数，试问关于x的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。
解：不妨设≤b，且方程的两个整数根为(≤)则有。
所以 ， 因为，b都是正整数，所以x1，x2均是正整数，于是，≥0,≥0，≥1,≥1，所以。
或 （1）当时，由于a,b都是正整数，且≤b，可得。
a＝1，b＝3，此时，一元二次方程为，它的两个根为，．
2）当时，可得 a＝1，b＝1，此时，一元二次方程为，它无整数解。综上所述，当且仅当a＝1，b＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为，．
15、如图△abc，d是△abc内一点，延长ba至点e，延长dc至点f，使得ae=cf，g，h，m分别为bd，ac，ef的中点，如果g，h，m三点共线。
求证：ab=cd。
证明：取bc中点t，af的中点s，连gt，ht，hs，sm。
g,h,m分别为bd，ac,ef的中点。
ms∥ae，，hs∥cf，hs=sm，∴∠shm＝∠smh
gt∥cd，ht∥ab，
gt∥hs，ht∥sm
∠shm＝∠tgh，∠smh＝∠thg
∠tgh＝∠thg
gt＝thab=cd
16.兰溪市六洞山自然生态风景旅游区，山青水秀，吸引着各方游客。“五一”**周为吸引更多的游客，管理处在普通票价每人a元的基础上，订出两种团队票优惠方案：
甲方案是团队中两人按原票价购买，其余每人优惠25%；乙方案是按团队人数每人均优惠20%。某团队共18人，应选择哪种优惠方案更合算，共可比另一方案节省多少元？
解：设团队人数为人，甲方案需门票费用共元，乙方案门票费用共元，依题意得。
设即。解得
即当团队人数少于10人时，选择乙方案合算，当团队人数为10人时，两方案费用一样。当团队人数超过10人时，选择甲方案合算。
当时，元）
答：这团队应选择甲方案买票更合算，共可比乙方案节省0.4a元。
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