东莞市大岭山华强学校九年级上学期数学竞赛试卷(解析版)
得分： [一，选择题： （本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、 已知，，，则a,b,c三个数的大小关系是b
a． bc. d.
2、点p是直线上一动点，o为原点，则|op|的最小值为( c )
a. 2bcd. 4
3、已知梯形abcd中，ad∥bc，对角线ac、bd交于o，△aod的面积为4，△boc的面积为9，则梯形abcd的面积为（ a ）
a）25b）24c）22d）26
4、矩形纸片abcd中，ab=3cm，bc=4cm，现将纸片折叠压平，使a与c重合，设折痕为ef，则重叠部分△aef的面积等于（ d ）．
a）5．设a＜b＜0，a2+b2=4ab，则的值为( )
a． b． c．2 d.3
解答】解：∵a2+b2=4ab，a2+b2+2ab=（a+b）2=6ab①
a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=2ab②
得=a＜b＜0，ab＞0，a+b＜0，a﹣b＜0，==3，=．
6．甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点a与b，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达a之后35分钟到达b，甲乙的速度之比为( )
a．3：5 b．4：3 c．4：5 d．3：4
解：设甲的速度为v1千米/时，乙的速度为v2千米/时，根据题意知，从出发地点到a的路程为v1千米，到b的路程为v2千米，从而有方程：，化简得，解得=或=﹣（不合题意舍去）．
故选d．7．如图，四边形abcd中∠a=60°，∠b=∠d=90°，ad=8，ab=7，则bc+cd等于( )
a． b．5 c．4 d．3
解：如图，延长ab、dc相交于e，在rt△ade中，可求得ae2﹣de2=ad2，且ae=2ad，计算得ae=16，de=8，于是be=ae﹣ab=9，在rt△bec中，可求得bc2+be2=ce2，且ce=2bc，bc=3，ce=6，于是cd=de﹣ce=2，bc+cd=5．
故选b．8．如图，在rt△abc中，∠c=90°，∠a=30°，∠c的平分线与∠b的外角的平分线交于e点，则∠aeb是( )
a．50° b．45° c．40° d．35°
解：∵e在∠c的平分线上，e点到cb的距离等于e到ac的距离，e在∠b的外角的平分线上，e点到cb的距离等于e到ab的距离，e点到ac的距离等于e到ab的距离，ae是∠a的外角的平分线．
在rt△abc中，∠c=90°，∠a=30°，∠abc=60°，eb是∠b的外角的平分线，∠abe=60°，∠aeb=180°﹣60°﹣75°=45°．
故选b．9．矩形abcd中，ab=8，bc=3，点p在边ab上，且bp=3ap，如果圆p是以点p为圆心，pd为半径的圆，那么下列判断正确的是( )
a．点b、c均在圆p外 b．点b在圆p外、点c在圆p内。
c．点b在圆p内、点c在圆p外 d．点b、c均在圆p内。
解：∵ab=8，点p在边ab上，且bp=3ap，ap=2，r=pd==7，pc===9，pb=6＜7，pc=9＞7
点b在圆p内、点c在圆p外。
故选：c．二。填空题： （本大题共7小题，每小题5分，共35分）
7、已知。8、方程的解为 x=4
10、若是方程的两个实数根，则的值= 24
9．分解因式：x（x﹣1）﹣y（y﹣1
解：x（x﹣1）﹣y（y﹣1）
x2﹣x﹣y2+y
（x2﹣y2）﹣（x﹣y）
（x﹣y）（x+y﹣1）．
10．记实数x1，x2中的最小值为min，例如min=﹣1，当x取任意实数时，则min的最大值为。
解：画出函数y=﹣x2+4和y=3x的图象如图：
由图可知：当x=1时，函数有最大值，最大值为3，所以min的最大值为3．
故答案为3．
15．已知抛物线经过点a（4，0）．设点c（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点d，使得|ad﹣cd|的值最大，则d点的坐标为。
解：∵抛物线经过点a（4，0），×42+4b=0，b=﹣2，抛物线的解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，抛物线的对称轴为：
直线x=2，点c（1，﹣3），作点c关于x=2的对称点c′（3，﹣3），直线ac′与x=2的交点即为d，因为任意取一点d（ac与对称轴的交点除外）都可以构成一个△adc．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|ad﹣cd|＜ac′．所以最大值就是在d是ac′延长线上的点的时候取到|ad﹣c′d|=ac′．把a，c′两点坐标代入，得到过ac′的直线的解析式即可；
设直线ac′的解析式为y=kx+b，解得：，直线ac′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，d点的坐标为（2，﹣6）．
故答案为：（2，﹣6）．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16．若a，b为实数，且a2+3a+1=0，b2+3b+1=0，求的值．
解：依题意得：a、b是关于x的方程x2+3x+1=0的两个实数根，则a+b=﹣3，ab=1，所以===7．
即=7．17．解方程：．
解：设y=，则原方程可化为：y﹣=1；
两边同乘以y整理得y2﹣y﹣2=0，解得y1=2，y2=﹣1．
当y1=2时，=2，化为；2x2+x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=；
当y2=﹣1时，=﹣1，化为；x2﹣x+1=0，∵△0，∴此方程无实数根；
经检验x1=﹣1，x2=都是原方程的根。
原方程的根是x1=﹣1，x2=．
18．甲、乙两车间同生产一种零件，甲车间有1人每天生产6件，其余每人每天生产11件，乙车间有1人每天生产7件，其余的生产10件，已知各车间生产的零件总数相等，且不少于100件不超过200件，求甲、乙车间各多少人？
解：设甲车间的人数为x人，乙车间的人数为y人，可得：6+11（x﹣1）=7+10（y﹣1），可得：
y=，根据题意可得不等式组：，解得：，因为x，y取整数，所以：
x=12，y=13，答：甲、乙车间各12，13人。
19．（13分）若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于x的两个二次函数y1，y2，且y1=a（x﹣m）2+4（m＞0），y1，y2的“生成函数”为：y=x2+4x+14；当x=m时，y2=15；二次函数y2的图象的顶点坐标为（2，k）．
1）求m的值；
2）求二次函数y1，y2的解析式．
解：（1）∵y1=a（x﹣m）2+4（m＞0），y1，y2的“生成函数”为：y=x2+4x+14；
y2=x2+4x+14﹣a（x﹣m）2﹣4=x2﹣a（x﹣m）2+4x+10，当x=m时，y2=15，15=m2﹣a（m﹣m）2+4m+10，解得：m1=1，m2=﹣5（不合题意舍去）；
2）由（1）得：y2=x2﹣a（x﹣1）2+4x+10=（1﹣a）x2+（2a+4）x﹣a+10，二次函数y2的图象的顶点坐标为（2，k）．
﹣=2，解得：a=4，y1=4（x﹣1）2+4，y2=﹣3x2+12x+6
15、如图：抛物线经过a（-3，0）、b（0，4）、c（4，0）三点。
（1） 求抛物线的解析式。
（2）已知ad = ab（d**段ac上），有一动点p从点a出发，沿线段ac以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点q以某一速度从点b沿线段bc移动，经过t 秒的移动，线段pq被bd垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点m，使mq+mc的值最小？若存在，请求出点m的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线的对称轴为）
解：（1）设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4), 因为b（0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) 0 - 4 )解得a=
所以抛物线解析式为3分。
2）连接dq，在rt△aob中，
所以ad=ab= 5，ac=ad+cd=3 + 4 = 7，cd = ac - ad =7 – 5 = 2
因为bd垂直平分pq，则pd=qd，pq⊥bd，所以∠pdb=∠qdb
因为ad=ab，所以∠abd=∠adb，∠abd=∠qdb，所以dq∥ab
所以∠cqd=∠cba。∠cdq=∠cab，所以△cdq∽ △cab
即。所以ap=ad – dp = ad – dq=5 –=
所以t的值是。
3）因为抛物线的对称轴为。
所以a（- 3，0），c（4，0）两点关于直线对称。
连接aq交直线于点m，则mq+mc的值最小。
过点q作qe⊥x轴于e，所以∠qed=∠boa=90°
dq∥ab，∠ bao=∠qde， △dqe ∽△abo 则：
即。所以qe=，de=，所以oe = od + de=2+=，所以q（，）
设直线aq的解析式为。
则由此得。所以直线aq的解析式为联立。
由此得所以m
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