103. （2011玉林，26，12分）已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于a、b两点（点a在点b的左侧），与y轴交于点c，点d为抛物线的顶点．
1）求a、b的坐标；
2）过点d作dh丄y轴于点h，若dh=hc，求a的值和直线cd的解析式；
3）在第（2）小题的条件下，直线cd与x轴交于点e，过线段ob的中点n作nf丄x
轴，并交直线cd于点f，则直线nf上是否存在点m，使得点m到直线cd的距离等于点m到原点o的距离？若存在，求出点m的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题。
分析：（1）令y=0求得x的值，从而得出点a、b的坐标；
2）令x=0，则y=﹣3a，求得点c、d的坐标，设直线cd的解析式为y=kx+b，把c、d两点的坐标代入，求出直线cd的解析式；
3）设存在，作mq⊥cd于q，由rt△fqm∽rt△fne，得=，及可得出关于m的一元二次方程，求出方程的解，即可得出点m的坐标．
解答：解：（1）由y=0得，ax2﹣2ax﹣3a=0，a≠0，∴x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，点a的坐标（﹣1，0），点b的坐标（3，0）；
2）由y=ax2﹣2ax﹣3a，令x=0，得y=﹣3a，∴c（0，﹣3a），又∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，得d（1，﹣4a），dh=1，ch=﹣4a﹣（﹣3a）=﹣a，∴﹣a=1，∴a=﹣1，c（0，3），d（1，4），设直线cd的解析式为y=kx+b，把c、d两点的坐标代入得，，解得，直线cd的解析式为y=x+3；
3）存在．由（2）得，e（﹣3，0），n（﹣，0）
f（，）en=，作mq⊥cd于q，设存在满足条件的点m（，m），则fm=﹣m，ef=，mq=om=
由题意得：rt△fqm∽rt△fne，=，整理得4m2+36m﹣63=0，∴m2+9m=，m2+9m+=+
m+）2= m+=±m1=，m2=﹣，点m的坐标为m1（，）m2（，﹣
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有一元二次方程的解法．在求有关存在不存在问题时要注意先假设存在，再讨论结果．
104. （2011菏泽，27，9分）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于a，b两点，与y轴交于c点，且a（﹣1，0）．
1）求抛物线的解析式及顶点d的坐标；
2）判断△abc的形状，证明你的结论；
3）点m（m，0）是x轴上的一个动点，当mc+md的值最小时，求m的值．
考点：二次函数综合题。
分析：（1）把a点的坐标代入抛物线解析式，求b得值，即可的出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；
2）根据直角三角形的性质，推出ac2=oa2+oc2=5，bc2=oc2+ob2=20，即ac2+bc2=25=ab2，即可确△abc是直角三角形；
3）作出点c关于x轴的对称点c′，则c′（0，2），oc'=2．连接c'd交x轴于点m，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，mc+md的值最小．首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求m的值。
解答：解：（1）∵点a（﹣1，0）在抛物线y=x2+bx﹣2上，×（1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，解得b=-
抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．y=x2﹣x﹣2=（ x2﹣3x﹣4 ）
（x﹣）2﹣，顶点d的坐标为 （，
2）当x=0时y=﹣2，∴c（0，﹣2），oc=2．
当y=0时，x2﹣x﹣2=0，∴x1=﹣1，x2=4，∴b （4，0）
oa=1，ob=4，ab=5．
ab2=25，ac2=oa2+oc2=5，bc2=oc2+ob2=20，ac2+bc2=ab2．∴△abc是直角三角形．
3）作出点c关于x轴的对称点c′，则c′（0，2），oc′=2，连接c′d交x轴于点m，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，mc+md的值最小．
解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点e．
ed∥y轴，∴∠oc′m=∠edm，∠c′om=∠dem
△c′om∽△dem．
∴,m=解法二：设直线c′d的解析式为y=kx+n，则，解得n=2，∴．
当y=0时，-
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形．
105. （2011贵州毕节，27，15分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过m(1,0)和n(3,0)两点，且与轴交于d(0,3)，直线l是抛物线的对称轴。
(1) 求该抛物线的解析式。(3分)
(2) 若过点a(-1,0)的直线ab与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式。(4分)
(3) 点p在抛物线的对称轴上，⊙p与直线ab和x轴都相切，求点p的坐标。(8分)
考点：二次函数综合题。
分析：（1）根据图象经过m（1，0）和n（3，0）两点，且与y轴交于d（0，3），可利用交点式求出二次函数解析式；
2）根据直线ab与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，得出ac，bc的长，得出b点的坐标，即可利用待定系数法求出一次函数解析式；
3）利用三角形相似求出△abc∽△cbm，得出，即可求出圆的半径，即可得出p点的坐标．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过m（1，0）和n（3，0）两点，且与y轴交于d（0，3），∴假设二次函数解析式为：
y=a（x﹣1）（x﹣3），将d（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得：3=3a，∴a=1，∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；
2）∵过点a（﹣1，0）的直线ab与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，ac×bc=6，∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过m（1，0）和n（3，0）两点，二次函数对称轴为x=2，∴ac=3，∴bc=4，∴b点坐标为：（2，4），一次函数解析式为；y=kx+b，∴，解得：，3）∵当点p在抛物线的对称轴上，⊙p与直线ab和x轴都相切，mo⊥ab，am=ac，pm=pc，∵ac=1+2=3，bc=4，∴ab=5，am=3，∴bm=2，∠mbp=∠abc，∠bmp=∠acb，∴△abc∽△cbm，∴，pc=1.
5，p点坐标为：（2，1.5）．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，．
106. （2011贵，25，）用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）
设竖档ab=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与ad、ab平行）
1）在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架abcd的面积为3平方米？
2）在图②中，如果不诱钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形架abcd的面积s最大？最大面积是多少？
3）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架abcd的面积s最大？最大面积是多少？
考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用。
专题：应用题。
分析：（1）先用含x的代数式（12﹣3x）÷3=4﹣x表示横档ad的长，然后根据矩形的面积公式列方程，求出x的值．
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