东北师大附中2011-2012学年高三数学（理科）第一轮复习导学案003
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词。
编写教师：薛玉财审稿教师：高长玉。
一、知识梳理（阅读教材选修2-1第14页至第27页）
1．简单的逻辑联结词。
常用的简单的逻辑联结词有“且”、“或”、“非”，分别用符号表示．
其含义：“且”是若干个简单命题同时成立；“或”是若干个简单命题中至少有一个成立；“非”是对一个命题的否定（只否定结论）
2．由“且”、“或”、“非”联结的命题及其真假。
且”即“”，含义是两个命题“同时”成立．
或”即“”，其含义是、两个命题“至少有一个”成立．
非”，即“”，含义是对命题的“否定”．
由“且”、“或”、“非”联结的命题的真值表：
3．量词。1）短语“对所有的”或“对任意一个”在陈述语句中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称命题．
2）短语“存在一个”或“至少有一个”在陈述语句中表示事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做特称命题，或叫存在性命题．
3）全称命题：；它的否定是。
特称命题：；它的否定是。
二、题型**。
**一： 由“且”、“或”、“非”联结命题并判断其真假。
例1 写出下列各组命题构成的“”、形式的命题，并判断真假．
1）：1是素数；：1是方程的根；
2）：平行四边形的对角线相等；：平行四边形的对角线互相垂直；
3）：方程的两实数根符号相同；：方程的两实数根绝对值相等；
思路： (1) 利用“且”、“或”、“非”把两个命题联结成新命题；
2）根据命题和命题的真假判断新命题的真假．
解答：（1）:既是素数又是方程的根．假命题．
是素数或是方程的根．真命题．
不是素数．真命题．
2）：平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题．
平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．
有些平行四边形的对角线不相等．真命题．
3）：方程的两实根符号相同且绝对值相等．假命题．
方程的两实根符号相同或绝对值相等．假命题．
方程的两实根符号不相同．真命题．
点评：正确理解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个命题的词语中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．其步骤为：确定新命题的构成形式；判断其中原命题的真假；根据其真值表判断新命题的真假．
**二： 以由“且”、“或”、“非”联结的命题的真假为背景，求解参数。
例2．已知命题：关于的方程有实根；命题：函数在上是增函数，若“或”是真命题，“且”是假命题，求实数的取值范围．
思路：分别求出满足命题、的实数的取值范围，根据真值表对命题、的真假情况分类讨论求实数的取值范围．
解：真：，或．
真：，．由“或”是真命题，“且”是假命题得、两命题一真一假．
当真假时，；
当假真时，．
综上，的取值范围为．
点评：解决这类问题时，应先根据题目条件，即新命题的真假情况，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况），然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围，最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．此类参数问题中命题的本身可以涉及与其他知识点的综合，如函数与方程问题、函数与不等式问题．
**三： 含有量词的命题的否定。
例3 写出下列命题的否定并判断真假．
1）：所有末位数字是的整数都能被整除；
3）：存在一个三角形，它的内角和大于；
4）：某些梯形的对角线互相平分．
思路：通过否定量词、否定判断词写出命题的否定，利用与的真假关系来判断真假．
解答：（1）：存在一个末位数字是的整数不能被整除，假命题．
2）：，真命题．
3）：任意一个三角形的内角和不大于，真命题．
4）：每一个梯形的对角线都不互相平分，真命题．
点评：（1）全（特）称命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全（特）称命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定；而命题的否定，只需直接否定结论即可．
2）要判断“”的真假，可以直接判断，也可以判断的真假，利用与的真假相反判断．
三、方法提升：
1．复合命题是由简单命题与逻辑联结词构成，简单命题的真假决定了复合命题的真假，复合命题的真假用真值表来判断，对于“或”，只有都为假，才为假，其他情况为真；对于“”，只有都为真，才为真，其他情况为假；“非”的真假与的真假相反．
2．常见的全称量词有：“所有的”、“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”；常见的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”“某个”“有的”等．
3．要判断全称命题的是真命题，需对集合中每一个元素，证明成立，若在集合中找到，使得不成立，那么这个全称命题就是假命题；要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个，使得成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．
4．全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．“”否定是“”；的否定是“”
四、反思感悟。
五、同步练习。
一）选择题。
1）下列命题中的假命题是c
a）（b）（c）（d）
2）下列命题中的假命题是b
ab）,cd）,3）有四个关于三角函数的命题：
xr其中假命题的是a
abcd），
4）下列4个命题：；；其中的真命题是d
abcd）5）已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ d ）
a） （bc） （d）
6）若，则下列正确的是a
a）或为真，非为假 （b）且为假，非为真。
c）且为假，非为真 （d）且为假，或为假。
7））命题“存在”的否定是d
a）不存在b）存在。
c）对任意的 （d）对任意的。
8）命题“”的否定是c
ab） cd）
二）填空题。
9）命题“存在，使得”的否定是。
答案：对任意，都有。
10）命题“对任何，的否定是。
存在，使得。
11）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是。
12）已知：函数在r为增函数，：函数在r为减函数，则下列四个命题中①，②其中真命题的序号是。
13）设函数的定义域为，有下列三个命题：
若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；
若存在，使得对任意的，且，有，则是函数的最大值；
若存在，使得对任意的，有，则是函数的最大值．
这些命题中，真命题的个数是___
解析 ②③符合最大值的定义，它们是正确的，而①是错误的．
答案 2三）、解答题。
14）写出由下列各组命题构成的“或”，“且”，“非p”形式的新命题，并判断其真假．
ⅰ)：2是4的约数，：2是6的约数；
ⅱ)：矩形的对角线相等，：矩形的对角线互相平分；
ⅲ)：方程的两实根的符号相同，：方程的两实根的绝对值相等．
解 (ⅰ或：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
且：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；
非：2不是4的约数，假命题．
ⅱ)或：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
且：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；
非：矩形的对角线不相等，假命题．
ⅲ)或：方程的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题；
且：方程的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；
非：方程的两实数根符号不同，真命题．
15）写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断真假：
ⅰ)若，则关于的方程有实数根；
ⅱ)若都是奇数，则是奇数；
ⅲ）若，则中至少有一个为零。
解 （ⅰ否命题：若，则关于的方程无实数根；（假命题）
命题的否定： ，使得关于的方程无实数根；（真命题）
ⅱ）否命题： 若不都是奇数，则不是奇数；（假命题）
命题的否定：若都是奇数，则不是奇数；（真命题）
ⅲ）否命题：若，则全不为0；（真命题）
命题的否定：若，则全不为0.（假命题）
16）已知：，若是的充分而不必要条件，求实数的取值范围．
解：由题意得，
又是充分而不必要条件，17）设有两个命题，：关于的不等式的解集是；：函数的定义域为．如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围．
解：：．函数的定义域为等价于，所以解得即：．
如果为真命题，为假命题，则真假或假真，或解得或．
量词 逻辑联结词
第一章第三节量词 逻辑联结词。一 选择题 本大题共6个小题，每小题5分，共30分 1 命题p x 是函数y sin x图象的一条对称轴 q 2 是y sin x的最小正周期，下列复合命题 p q p q 綈p 綈q，其中真命题有 a 0个b 1个。c 2个d 3个。2 已知命题p q，非p为真命题 ...
量词与逻辑联结词
一 自主梳理。1 全称量词。我们把表示 的量词称为全称量词 对应日常语言中的 一切 任意的 所有的 凡是 任给 对每一个 等词，用符合 表示 含有 的命题，称为全称命题 如 对任意实数x m，都有p x 成立 简记成。2 存在量词。我们把表示 的量词称为存在量词 对应日常语言中的 存在一个 至少有一...
逻辑联结词与量词
一。教学内容 二。重点 难点 重点 理解简单的逻辑联结词或 且 非的含义，理解量词用含有一个量词的命题的否定 难点 含有一个量词的命题的否定 一 本单元知识结构 二 概念与规律总结 1 命题的结构。命题的定义 可以判断真假的语句叫做命题 或 且 非 这些词叫做逻辑联结词 不含有逻辑联结词的命题是简单...