同步教育信息】
一。 本周教学内容：
椭圆。教学目标：
1. 掌握椭圆的定义。（第一定义和第二定义）。
2. 能根据条件熟练求出椭圆的标准方程；
3. 掌握椭圆的几何性质及标准方程中的a、b、c、e的几何意义，及a、b、c、e间的相互关系；
4. 能综合应用椭圆的有关知识解决最值问题及参数的取值范围；
5. 理解直线与椭圆的位置关系，会求椭圆截直线所得的弦长，会应用弦中点的性质求解问题。
能力训练：进一步巩固求曲线方程的方法，提高运用坐标法的自觉性及解决几何问题的能力；进一步培养数形结合的能力；同时提高代数运算能力、综合分析问题解决问题的能力。
二。 重点、难点：
重点：椭圆的定义、标准方程及几何性质的应用。
难点：椭圆的定义、标准方程、几何性质在解题过程中的灵活运用。
典型例题】一。 知识提要：
1. 椭圆的第一定义：平面内，与两个定点f1、f2的距离和等于常数（大于|f1f2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
2. 椭圆的第二定义：
3. 椭圆的标准方程及几何性质：
例1. 的标准方程。
分析：求椭圆的标准方程，就是求中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程。但焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程即知。
解：设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m>0，n>0）
例2. 与椭圆交于a、b两点，求△abf2的周长。
解析：数形结合，由椭圆定义即可求得答案。
解： 又∵△abf2的周长=|ab|+|bf2|+|af2|=|af1|+|bf1|+|af2|+|bf2|=4a
∴△abf2的周长为4a。
例3. 线的距离为（ ）
a. 6b. 8c. 10d. 15
解析：法一：应用椭圆的第二定义即可求出结果为15。
左准线距离，作差即可求出点p到右准线距离。
例4. 点p与定点f（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比是1∶2，求点p的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。
分析：根据椭圆的第二定义可知，动点p的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，解：
例5. 求|pq|的最大值。
分析：做此题要数形结合，从图中可见，要求|pq|的最大值，只要考虑圆心到椭圆上的点的距离即可，而椭圆上的点是有范围的，于是转化为二次函数在闭区间上的最值问题。
设：椭圆上的一点q（x，y），又c（0，4）。
则|qc|2=x2+(y－4)2
∴|pq|的最大值为5+1=6。
例6. 上求一点m，使|mp|+2|mf|的值最小，求点m的坐标。
分析：|mf|是椭圆上一点到焦点的距离，根据椭圆的第二定义，有。
显然，p、m、m'三点共线时，|pm|+|mm'|有最小值。
解：过p作pm'⊥l交椭圆于m，由椭圆方程知。
例7. 在的直线方程。
分析：所求直线过定点m（2，1），因此，设为y－1=k(x－2)，再利用弦中点条件求出直线的斜率k。
解法一：设所求直线方程为y－1=k(x－2)，解法二：设直线与椭圆的交点为a（x1，y1），b（x2，y2）
∵m（2，1）为ab的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2。
解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为a（x，y），由于中点为m（2，1），则另一个交点b（4－x，2－y）。
∵点a、b都在椭圆上。
由于过a、b的直线只有一条，模拟试题】
1. 已知p是椭圆上一点，f1、f2是焦点，∠f1pf2=30°，求△f1pf2的面积。
2. 已知椭圆的焦点f1（0，－1），f2（0，1），直线y=4是它的一条准线，p是椭圆上一点，且|pf2|－|pf1|=1，求△f1pf2的面积。
3. 椭圆的焦点为f1，f2，点p为其上一动点，当∠f1pf2为钝角时，点p横坐标的取值范围。
4. 求与椭圆相交于a、b两点，并且线段ab的中点m（1，1）的直线方程。
试题答案。1. 解：设。
在△f1pf2中，
即△f1pf2的面积为。
2. 分析：可以由椭圆定义及已知条件求出|pf1|和|pf2|的长，再计算面积。
解： 3. 分析：先求出使∠f1pf2=90°的点p的横坐标，根据点p的运动观察出p点横坐标的取值范围。
得。5. 解：设a（x1，y1），b（x2，y2）
∵a、b都在椭圆上，∴
∵ab的中点m（1，1），∴
∴即为直线ab的斜率为。
∴所求直线方程为：。
高二数学椭圆专题
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