第4讲二次函数。
一级训练。1．(2023年广西北海)已知二次函数y＝x2－4x＋5的顶点坐标为( )
a．(－2，－1) b．(2,1) c．(2，－1) d．(－2,1)
2．(2023年贵州黔东南州)抛物线y＝x2－4x＋3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为( )
a．(4，－1) b．(0，－3) c．(－2，－3) d．(－2，－1)
3．(2023年浙江温州)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图3－4－4.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是( )
图3－4－4
a．有最小值0，有最大值3 b．有最小值－1，有最大值0
c．有最小值－1，有最大值3 d．有最小值－1，无最大值。
4．(2023年湖南衡阳)如图3－4－5为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法：①a＞0; ②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④当－1＜x＜3时，y＞0.其中正确的个数为( )
图3－4－5
a．1 b．2 c．3 d．4
5．(2023年陕西)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－x－6向上(下)或向左(右)平移了m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为( )
a．1 b．2 c．3 d．6
6．在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x2＋a的图象可能是( )
7．(2023年黑龙江哈尔滨)李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图3－4－6所示的矩形abcd.设bc边的长为x米，ab边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是( )
图3－4－6
a．y＝－2x＋24(0b．y＝－x＋12(0c．y＝2x－24(0d．y＝x－12(08．(2023年浙江宁波)将抛物线y＝x2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为。
9．(2023年贵州贵阳)写出一个开口向下的二次函数的表达式。
10．(2023年浙江舟山)如图3－4－7，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1,0)，(1，－2)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是。
图3－4－7
11．(2023年江苏淮安)抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是。
12．(2023年江苏盐城)已知二次函数y＝－x2－x＋.
1)在如图3－4－8中的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
2)根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；
3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．
图3－4－8
13．(2023年广东)已知抛物线y＝x2＋x＋c与x轴没有交点．
1)求c的取值范围；
2)试确定直线y＝cx＋1经过的象限，并说明理由．
14．(2023年黑龙江哈尔滨)小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积s(单位：cm2)随x(单位：
cm)的变化而变化．
1)请直接写出s与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
2)当x是多少时，这个三角形面积s最大？最大面积是多少？
二级训练。15．(2023年甘肃兰州)如图3－4－9所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：①b2－4ac>0；②c>1；③2a－b<0；④a＋b＋c<0.
你认为其中错误的有( )
a．2个 b．3个 c．4个 d．1个。
图3－4－9
16．(2023年广东茂名)给出下列命题：
命题1：点(1,1)是双曲线y＝与抛物线y＝x2的一个交点．
命题2：点(1,2)是双曲线y＝与抛物线y＝2x2的一个交点．
命题3：点(1,3)是双曲线y＝与抛物线y＝3x2的一个交点．
请你观察上面的命题，猜想出命题n(n是正整数。
17．(2023年湖南怀化)已知：关于x的方程ax2－(1－3a)x＋2a－1＝0.
1)当a取何值时，二次函数y＝ax2－(1－3a)x＋2a－1的对称轴是x＝－2?
2)求证：a取任何实数时，方程ax2－(1－3a)x＋2a－1＝0总有实数根．
**训练。18．(2023年四川凉山州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图3－4－10，反比例函数y＝与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象是( )
图3－4－10
19．(2023年广东深圳)如图3－4－11，已知△abc的三个顶点坐标分别为a(－4,0)，b(1,0)，c(－2,6)．
1)求经过a，b，c三点的抛物线解析式；
2)设直线bc交y轴于点e，连接ae，求证：ae＝ce；
3)设抛物线与y轴交于点d，连接ad交bc于点f，试问以a，b，f为顶点的三角形与△abc相似吗？ 请说明理由．
图3－4－11
第4讲二次函数。
分层训练】1．b
2．a 解析：y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，所以顶点坐标为(2，－1)，右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为(4，－1)．
3．c4．c 解析：①图象开口向下，能得到a＜0；
对称轴在y轴右侧，x＝＝1，则有－＝1，即2a＋b＝0；
当x＝1时，y＞0，则a＋b＋c＞0；
由图可知，当－1＜x＜3时，y＞0.
5．b 解析：由y＝x2－x－6＝(x－3)(x＋2)，可求出抛物线与x轴有两个交点分别为(3,0)(－2,0)，将抛物线向右平移2个单位，恰好使得抛物线经过原点，且移动距离最小．
6．c7．b 解析：本题考查函数解析式的表示方法及自变量取值范围．ab＋cd＋bc＝24，即2ab＋x＝24,2y＋x＝24，所以y＝12－x.因为菜园一边的墙足够长，所以自变量x(bc)只要小于24即可，又边长大于零，所以x取值范围0＜x＜24.
故选b.
8．y＝x2＋1 答案不唯一)
10．x> 11.(1,2)
12．解：(1)画图(如图d8)．
图d82)当y＜0时，x的取值范围是x＜－3或x＞1.
3)平移后图象所对应的函数关系式为。
y＝－(x－2)2＋2.
13．解：(1)∵抛物线与x轴没有交点，δ＜0，即1－2c＜0，解得c＞.
2)∵c＞，直线y＝cx＋1随x的增大而增大．
b＝1，直线y＝cx＋1经过第。
一、二、三象限．
14．解：(1)s＝×x(40－x)＝－x2＋20x.
2)当x＝－＝20时，s＝＝200，所以当x＝20 cm时，三角形的面积最大，最大面积是200 cm2.
15．d16．点(1，n)是双曲线y＝与抛物线y＝nx2的一个交点。
17．(1)解：∵二次函数y＝ax2－(1－3a)x＋2a－1的对称轴是x＝－2，x＝－＝2.
解得a＝－1.
2)证明：①当a＝0时，原方程变为－x－1＝0，方程的解为x＝－1；
当a≠0时，原方程为一元二次方程，ax2－(1－3a)x＋2a－1＝0.
当δ≥0时，方程总有实数根，[－1－3a)]2－4a(2a－1)≥0.
整理，得a2－2a＋1≥0，即(a－1)2≥0.
a≠0时，(a－1)2≥0总成立，a取任何实数时，方程ax2－(1－3a)x＋2a－1＝0总有实数根．
18．b19．(1)解：∵抛物线经过a(－4,0)，b(1,0)两点，设函数解析式为y＝a(x＋4)(x－1)．
又∵由抛物线经过点c(－2,6)，6＝a(－2＋4)(－2－1)，解得a＝－1.
经过a，b，c三点的抛物线解析式为y＝－(x＋4)·(x－1)，即y＝－x2－3x＋4.
2)证明：设直线bc的函数解析式为y＝kx＋b，由题意，得解得。
直线bc的解析式为y＝－2x＋2.
点e的坐标为(0,2)．
ae＝＝＝2，ce＝＝2.
ae＝ce.
3)解：相似．理由如下：
设直线ad的解析式为y＝k1x＋b1，则解得。
直线ad的解析式为y＝x＋4.
联立直线ad与直线bc的函数解析式．可得解得。
点f的坐标为。
则bf＝＝，又∵ab＝5，bc＝＝3，＝，
又∵∠abf＝∠cba，∴△abf∽△cba.
以a，b，f为顶点的三角形与△abc相似．
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