1、如图，直角梯形oabc的直角顶点o是坐标原点，边oa，oc分别在x轴、y轴的正半轴上，oa∥bc，d是bc上一点，bd=oa=，ab=3，∠oab=45°，e、f分别是线段oa、ab上的两动点，且始终保持∠def=45°．
1）直接写出d点的坐标；
2）设oe=x，af=y，试确定y与x之间的函数关系；
3）当△aef是等腰三角形时，将△aef沿ef折叠，得到△，求△与五边形oefbc重叠部分的面积．
答案】解：（1）d点的坐标是。
2）连结od,如图（1），由结论（1）知：d在∠coa的平分线上，则。
doe=∠cod=45°,又在梯形doab中，∠bao=45°,∴od=ab=3
由三角形外角定理得：∠1=∠dea-45°,又∠2=∠dea-45°
∠1=∠2, ∴ode∽△aef，即：
y与x的解析式为：
3）当△aef为等腰三角形时，存在ef=af或ef=ae或af=ae共3种情况。
1 当ef=af时，如图（2）.
fae=∠fea=∠def=45°,△aef为等腰直角三角形。d在a’e上（a’e⊥oa）,b在a’f上（a’f⊥ef）
△a’ef与五边形oefbc重叠的面积为。
四边形efbd的面积。
（也可用）②当ef=ae时，如图（3），此时△a’ef与五边形oefbc重叠部分面积为△a’ef面积。
def=∠efa=45°， de∥ab ， 又db∥ea
四边形deab是平行四边形。
ae=db=
当af=ae时，如图（4），四边形aea’f为菱形且△a’ef在五边形oefbc内。
∴此时△a’ef与五边形oefbc重叠部分面积为△a’ef面积。
由（2）知△ode∽△aef,则od=oe=3
∴ae=af=oa-oe=
过f作fh⊥ae于h,则。
综上所述，△a’ef与五边形oefbc重叠部分的面积为或1或。
2、在平面直角坐标系xoy中，抛物线与x轴的交点分别为原点o和点a，点b（2，n）在这条抛物线上．
1）求b点的坐标；
2）点p**段oa上，从o点出发向a点运动，过p点作x轴的垂线，与直线ob交与点e，延长pe到点d，使得ed=pe，以pd为斜边，在pd右侧做等等腰直角三角形pcd（当p点运动时，c点、d点也随之运动）．
当等腰直角三角形pcd的顶点c落在此抛物线上时，求op的长；
若p点从o点出发向a点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段oa上另一个点q从a点出发向o点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当q点到达o点时停止运动，p点也同时停止运动）．过q点做x轴的垂线，与直线ab交与点f，延长qf到点m，使得fm=qf，以qm为斜边，在qm的左侧作等腰直角三角形qmn（当q点运动时，m点、n点也随之运动）．若p点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．
答案】解：（1）∵抛物线经过原点，m2—3m+2=0.
解的m1=1，m2=2.
由题意知m≠1.
m=2，抛物线的解析式为。
点b（2，n）在抛物线，n=4.
b点的坐标为（2，4）
2）①设直线ob的解析式为y=k1x
求得直线ob的解析式y=2x
a点是抛物线与x轴的一个交点，可求得a点的坐标为（10，0），设p点的坐标为（a，0），则e点的坐标为（a，2a）．
根据题意做等腰直角三角形pcd，如图1.
可求得点c的坐标为（3a，2a），有c点在抛物线上，得2a=－x（3a）2+x3a.
即a2—a=0
解得 a1=，a2=0（舍去）
op= 依题意作等腰直角三角形qmn.
设直线ab的解析式y=k2x+b
由点a(10 ，0)，点b（2，4），求得直线ab的解析式为y=－x+5
当p点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：
第一种情况：cd与nq在同一条直线上，如图2所示，可证△dpq为等腰直角三角形．此时qp、op、aq的长可依次表示为tt、 2t个单位．
pq = dp = 4t
t+4t+2t=10
t=第二种情况：pc与mn在同一条直线上，如图3所示．可证△pqm为等腰直角三角形．
此时op、aq的长依次表示为t、2t个单位，oq = 10 － 2t
f点在直线ab上。
fq=tmq=2t
pq=mq=cq=2t
t+2t+2t=10
t=2.第三种情况：点p、q重合时，pd、qm在同一条直线上，如图4所示，此时op、aq的长依次表示为t、2t个单位．
t+2t=10
t=综上，符合题意的值分别为，2，．
3、已知：如图，⊙与轴交于c、d两点，圆心的坐标为（1，0），⊙的半径为，过点c作⊙的切线交于点b（－4，0）．
1）求切线bc的解析式；
2）若点p是第一象限内⊙上一点，过点p作⊙a的切线与直线bc相交于点g，且∠cgp＝120°，求点的坐标；
3）向左移动⊙（圆心始终保持在上），与直线bc交于e、f，在移动过程中是否存在点，使得△aef是直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案】解：（1）连接，∵是⊙a的切线，∴．
即，∴．点坐标是（0，2）．
设直线的解析式为，∵该直线经过点b（－4，0）与点（0，2）， 解得
∴该直线解析式为．
2）连接，过点作．
由切线长定理知。
在中，∵，在中，由勾股定理得
又∵．则是点的纵坐标，，解得．
点的坐标．(3)如图示，当在点的右侧时。
∵、在⊙上，∴．
若△是直角三角形，则，且为等腰直角三角形．
过点作，在中由三角函数可知。
又∵∽，点坐标是．
当在点的左侧时：同理可求点坐标是．
4、如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）
1）求此抛物线的解析式；
2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；
3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积。
答案】1）解：设抛物线为。
抛物线经过点（0，3），∴
抛物线为3分。
(2) 答：与⊙相交4分。
证明：当时，，.
为（2，0），为（6，0）.∴
设⊙与相切于点，连接，则。，∴
又∵，∴6分。
抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.
抛物线的对称轴与⊙相交7分。
3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点。
可求出的解析式为8分。
设点的坐标为（，）则点的坐标为（，）
当时，的面积最大为。
此时，点的坐标为（310分。
5、在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为。
ⅰ）若，，求此时抛物线顶点的坐标；
ⅱ）将（ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形abec中满足。
s△bce = s△abc，求此时直线的解析式；
ⅲ）将（ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形abec中满足。
s△bce = 2s△aoc，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式。
答案】解：（ⅰ当，时，抛物线的解析式为，即。
抛物线顶点的坐标为（1，42分。
ⅱ）将（ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有， 抛物线的解析式为（）．
此时，抛物线与轴的交点为，顶点为．
方程的两个根为， 此时，抛物线与轴的交点为，．
如图，过点作ef∥cb与轴交于点，连接，则s△bce = s△bcf．
s△bce = s△abc， s△bcf = s△abc．
设对称轴与轴交于点，则．
由ef∥cb，得．
rt△edf∽rt△cob．有．
．结合题意，解得．
点，．设直线的解析式为，则。
解得 直线的解析式为6分。
ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为，（，
则抛物线的解析式为，此时，抛物线与轴的交点为，与轴的交点为，.（
过点作ef∥cb与轴交于点，连接，则s△bce = s△bcf.
由s△bce = 2s△aoc， s△bcf = 2s△aoc. 得。
设该抛物线的对称轴与轴交于点。
则。于是，由rt△edf∽rt△cob，有．，即．
结合题意，解得。
点在直线上，有． ②
由①②，结合题意，解得．
有，． 抛物线的解析式为．
6、如图1，在平面直角坐标系xoy中，矩形oabc的边oa在y轴的正半轴上，oc在x轴的正半轴上，oa=1,oc=2,点d在边oc上且od= 。
1）.求直线ac的解析式；
2）.在y轴上是否存在点p，直线pd与矩形对角线ac交于点m，使得△dmc为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由。
3）.抛物线y=经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点d和点e（点e在y轴正半轴上），且△ode沿de折叠后点o落在边ab上处？
答案】7、已知抛物线上有不同的两点e和f．
1）求抛物线的解析式．
2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点a和b，m为ab的中点，∠pmq在ab的同侧以m为中心旋转，且∠pmq＝45°，mp交y轴于点c，mq交x轴于点d．设ad的长为m（m＞0），bc的长为n，求n和m之间的函数关系式．
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