一．专题内容：
求动点的轨迹方程实质上是建立动点的坐标之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有：
（1）等量关系法：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉．
（2）定义法：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．
（3）转移代入法：如果所求轨迹上的点是随另一个在已知曲线：上的动点的变化而变化，且能用表示，即，，则将代入已知曲线，化简后即为所求的轨迹方程．
（4）参数法：选取适当的参数（如直线斜率等），分别求出动点坐标与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可．
（5）交轨法：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）．
注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！
二．相关试题训练。
一）选择、填空题。
1．（ 已知、是定点，，动点满足，则动点的轨迹是 （a）椭圆 （b）直线c）圆d）线段。
2．（ 设，，的周长为36，则的顶点的轨迹方程是。
ab）（）cd）（）
3．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是。
4．p在以、为焦点的双曲线上运动，则的重心g的轨迹方程是。
5．已知圆c：内一点，圆c上一动点q， aq的垂直平。
分线交cq于p点，则p点的轨迹方程为。
6．△abc的顶点为、，△abc的内切圆圆心在直线上，则顶。
点c的轨迹方程是。
变式：若点为双曲线的右支上一点，、分别是左、右焦点，则△的内切圆圆心的轨迹方程是。
推广：若点为椭圆上任一点，、分别是左、右焦点，圆与线段的延长线、线段及轴分别相切，则圆心的轨迹是。
7．已知动点到定点的距离比到直线的距离少1，则点的轨迹方程是。
8．抛物线的一组斜率为的平行弦的中点的轨迹方程是。
9．过抛物线的焦点作直线与抛物线交于p、q两点，当此直线绕焦点旋转时，弦中点的轨迹方程为。
10．过定点作直线交抛物线于a、b两点， 过a、b分别作抛物线c的切线交于点m, 则点m的轨迹方程为。
二）解答题。
1．一动圆过点，且与圆相内切，求该动圆圆心的轨迹方程．
定义法）2．过椭圆的左顶点作任意弦并延长到，使，为椭圆另一顶点，连结交于点，求动点的轨迹方程．
直接法、定义法；突出转化思想）
3．已知、是椭圆的长轴端点，、是椭圆上关于长轴对称的两点，求直线和的交点的轨迹．（交轨法）
4．已知点g是△abc的重心，，在轴上有一点m，满足。
1）求点c的轨迹方程；（2）若斜率为的直线与点c的轨迹交于不同两点p、q，且满足，试求的取值范围．
解：（1）设，则由重心坐标公式可得．，点在轴上，∴ 即．
故点的轨迹方程为（）．直接法）
2）设直线的方程为（），的中点为．
由消，得．，即． ①
又，∴，即，，又由①式可得，∴且．
且，解得且．
故的取值范围是且．
5．已知平面上两定点、，为一动点，满足．
ⅰ）求动点的轨迹的方程；（直接法）
ⅱ）若a、b是轨迹上的两动点，且．过a、b两点分别作轨迹的切线，设其交点为，证明为定值．
6．已知o为坐标原点，点、，动点、、满足（），求点m的轨迹w的方程．
解：∵，mn垂直平分af．
又，∴ 点m在ae上， 点m的轨迹w是以e、f为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距，．
点m的轨迹w的方程为（）．
7．设，为直角坐标系内轴正方向上的单位向量，若向量，， 且．
1）求点的轨迹的方程；（定义法）
2）过点作直线与曲线交于、两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形是矩形？若存在，求出直线的方程，若不存在，试说明理由．
解：（1）；
2）因为过轴上的点．若直线是轴，则两点是椭圆的顶点．，所以与重合，与四边形是矩形矛盾．
故直线的斜率存在，设方程为，．
由消得此时＞恒成立，且，，，所以四边形是平行四边形．
若存在直线，使得四边形是矩形，则，即．
即．，得．故存在直线：，使得四边形是矩形．
8．如图，平面内的定点f到定直线l的距离为2，定点e满足： =2，且于g，点q是直线上一动点，点m满足：，点p满足：，．
）建立适当的直角坐标系，求动点p的轨迹方程；
）若经过点e的直线与点p的轨迹交于相异两点a、b，令，当时，求直线的斜率的取值范围．
解：（1）以的中点为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设点，则，，．即所求点的轨迹方程为．
（2）设点。
设af的斜率为，bf的斜率为，直线的方程为
由………6分
………7分
………8分。
………10分。
由于 ……11分。
解得………13分。
∴直线斜率k的取值范围是。
11．如图和两点分别在射线、上移动，且，为坐标原点，动点满足．
1）求的值； （2）求点的轨迹的方程，并说明它表示怎样的曲线？
3）若直线l过点交（2）中曲线于、两点，且，求的方程．
解：（1）由已知得，．
（2）设p点坐标为（），由得。
消去，可得，又因，∴ p点的轨迹方程为．
它表示以坐标原点为中心，焦点在轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支．
3）设直线l的方程为，将其代入c的方程得。
即 ，易知（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）
又，设，则。
l与c的两个交点在轴的右侧，即，又由同理可得 ，由得， ∴
由得，由得，消去得考虑几何求法！！
解之得： ，满足．
故所求直线l存在，其方程为：或．
12．设a，b分别是直线和上的两个动点，并且，动点p满足．记动点p的轨迹为c．
） 求轨迹c的方程；
）若点d的坐标为（0，16），m、n是曲线c上的两个动点，且，求实数的取值范围．
解：（）设，因为a、b分别为直线和上的点，故可设，．
又， ∴∴． 即曲线c的方程为．
） 设n（s，t），m（x，y），则由，可得（x，y-16）= s，t-16)．
故，．∵ m、n在曲线c上， ∴
消去s得 ．
由题意知，且，解得 ．
又 ， 解得 （）
故实数的取值范围是（）．
13．设双曲线的两个焦点分别为、，离心率为2．
1）求此双曲线的渐近线、的方程；（）
2）若a、b分别为、上的动点，且，求线段ab的中点m的轨迹方程，并说明是什么曲线．（）
提示：，又，则，．
又，代入距离公式即可．
3）过点是否存在直线，使与双曲线交于、两点，且，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．（不存在）
14．已知点，直线，设动点p到直线的距离为，已知，且． （1）求动点p的轨迹方程；
2）若，求向量与的夹角；
3）如图所示，若点g满足，点m满足，且线段mg的垂直平分线经过点p，求△pgf的面积．
15．如图，直线与椭圆（）交于a、b两点，以oa、ob为邻边作平行四边形oapb（o为坐标原点）．
1）若，且四边形oapb为矩形，求的值；（）
2）若，当变化时（），求点p的轨迹方程．（（
16．双曲线c：（，的离心率为2，其中，，且．（1）求双曲线c的方程；
2）若双曲线c上存在关于直线：对称的点，求实数的取值范围．
解：（i）依题意有：
解得： 所求双曲线的方程为6分。
ⅱ）当k=0时，显然不存在7分。
当k≠0时，设双曲线上两点m、n关于直线l对称．由l⊥mn，直线mn的方程为．则m、n两点的坐标满足方程组。
由消去y得。
9分。显然，．
即。设线段mn中点d（）
则。d（）在直线l上，．即 ②
把②带入①中得 ，解得或．
或．即或，且k≠0．
k的取值范围是．……14分。
17．已知向量=(2，0)， 0，1)，动点m到定直线y =1的距离等于d，并且满足·=k(·-d2)，其中o为坐标原点，k为参数。
ⅰ）求动点m的轨迹方程，并判断曲线类型；
ⅱ）如果动点m的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足≤e≤，求实数k的取值范围。
18．过抛物线的焦点作两条弦、，若，，．
1）求证：直线过定点；（2）记（1）中的定点为，求证为钝角；
3）分别以、为直径作圆，两圆公共弦的中点为，求的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．
19．如图，是抛物线上上的一点，动弦、分别交轴于、两点，且．（1）若为定点，证明：直线的斜率为定值；
2）若为动点，且，求△的重心的轨迹．
思路分析：（1）由直线（或）方程与抛物线方程组成的方程组解出点f和点的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用点的坐标将、点的坐标表示出来，进而表示出点坐标，消去即得到的轨迹方程（参数法）.
解：（1）法一：设，直线的斜率为（），则直线的斜率为，方程为．
由，消得，解得，∴，定值)．
所以直线的斜率为定值．
法二：设定点，、，由得，即；同理．，∴即，∴．
所以，（定值）．
第一问的变式：过点作倾斜角互补的直线me、mf，则直线ef的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．
高考动点轨迹问题专题讲解
一 专题内容 求动点的轨迹方程实质上是建立动点的坐标之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有 1 等量关系法 根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定...
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