高考重难点专题突破之——不等式。
一、 综述（内容、地位、作用）：
在苏教版高中数学教科书必修系列中，直接涉及“不等式”内容的部分为必修5第三章《不等式》。另外，在实际教学过程中，在学到必修5《不等式》之前的某些章节（如集合、函数的值域等），无**理科班，基于教学内容的关联性和完整性，老师们基本上都要对选修4-5中的部分基础性内容进行选讲。所以“不等式”的内容主要来自必修5第三章《不等式》以及选修系列4-5《不等式选讲》。
综合来看，不等式的内容主要可分为不等式的求解、证明和应用三部分，它们又分别以一元二次不等式的求解、均值不等式相关的证明、不等式在应用题以及线性规划中的应用为主。
不等式是中学数学的主干内容之一， 它不仅是中学数学的基础知识，而且在中学数学中起着广泛的工具性作用，对学生们步入大学之后的数学学习也具有基础性的铺垫作用。在历年的高考中，不等式虽很少单独命题（理科附加卷除外），但无论从它所涉及到的知识点或是题量来看，有关不等式的试题分布范围极广（甚至有些题目很难界定其中对不等式的考查所占到的比重，所以我们也很难准确给出高考中不等式所占分值），试题不仅考查了不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，还考查了运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的应用能力等数学素养。
在高考命题趋势上，不等式的考查极其突出工具性，淡化独立性、突出解，是不等式命题的总体取向。高考中不等式试题的落脚点主要有：一，不等式的性质，常与指数函数、对数函数、三角函数等结合起来，考查不等式的性质、函数的单调性、最值等；二，不等式的证明，多以函数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综合性强，能力要求高；三，解不等式，往往与公式、根式和参数的讨论联系在一起，考查学生的等价转化能力和分类讨论能力；四，不等式的应用，以当前经济、社会生产、生活为背景与不等式综合的应用题是高考的热点，主要考查学生阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力。
二、 考试要求与教学建议：
一） 必修5部分。
新课标在对“必修5”《不等式》一章的说明中指出：“不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容……掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。”由此，我们大致可以看出教材对于本部分的基本要求以及高考的考查要点。
本部分的课标建议课时为大约16课时。相应的说明与建议主要有：
1、 一元二次不等式教学中，应注重使学生了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。
2、 不等式有丰富的实际背景，是刻画区域的重要工具。刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，教学中可以从实际背景引入二元一次不等式组。
3、 线性规划是优化的具体模型之一。在本模块的教学中，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题，不必引入很多名词。
二） 不等式选讲部分。
此部分文理科考生的对待方式见的异同我们已在“综述”部分有所讲解，次不赘述。
本专题主要介绍几个数学中重要的不等式以及数学归纳法。本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。从文理科学习之间的异同的角度，我们可以将本专题内容分为两部分：
前半部分，文理科同等要求，且均在必修过程中已基本讲解到位；后半部分，只对理科生做简单要求，即高考时所考题目难度不大，基本上可直接套用公式，或只需经简单并行即可套用公式，同时，也不是必做题。
下面，我们把新课标中的内容与要求重点性的摘录于此，以供诸位师生**，同时也作为本部分内容的一个基本总结，后文将不再详细展开。
1、 理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明三角不等式等。
2、 认识柯西不等式的几种不同形式。
3、 了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。
4、 会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。
5、 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。
三、 考点归纳与题型讲解之“不等式的求解”
一）、不等式的性质。
1、不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。
2、两个实数的大小：
3、不等式的基本性质：
1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．
如果，那么。
2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
如果，那么（或）.
3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
如果， ,那么（或）
由上面三条可以衍生出如下的性质：
1）（对称性）
2）（传递性）
3）（加法单调性）
4）（同向不等式相加）
5）（异向不等式相减）
7）（乘法单调性）
8）（同向不等式相乘）
异向不等式相除）
倒数关系）11）（平方法则）
12）（开方法则）
4．例题：1）已知，，则的取值范围是___
答：）；2）已知，且则的取值范围是___
答：）二）解一元一次不等式（组）
1．一元一次不等式。
1.1定义： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．
注：一元一次不等式的一般形式是ax+b>o或ax+b1.2解一元一次不等式的一般步骤。
1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)化系数为1．
说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．
2.一元一次不等式组。
2.1定义：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．
说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．
2. 2一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．
2. 3. 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设a>b）
2．4.解一元一次不等式组的步骤。
1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；
2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．
3．例题讲解。
例1】 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。
解：解不等式①得，解不等式②得，不等式①和②的解集在数轴上表示如下：
原不等式组的解集是。
三）解一元二次不等式（组）
1：一元二次不等式的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
比如：.任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或。
2：一般的一元二次不等式的解法：
一元二次不等式的解集可以联系二次函数的图象，图象在轴上方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集，图象在轴下方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集。
设一元二次方程的两根为且，，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：
注：表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，可先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
3：规律方法指导。
3.1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；
3.2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
3.3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
3.4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；
3.5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数。
四）．解分式不等式。
1. 形如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为０）的不等式称为分式不等式。
通俗的说就是分母中含未知数的不等式称之为分式不等式。
2. 归纳分式不等式的解法：（不知道分母正负的时候）
化分式不等式为标准型：方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式。
将分式不等式进行形如以下四类的等价变形：
3.例题讲解：解不等式：.
解法1：化为两个不等式组来解：
x∈φ或，原不等式的解集是。
解法2：化为二次不等式来解： ，原不等式的解集是
点评：提倡用解法2，避免分类讨论，提高解题速率。
变式1：解不等式。
解： 的解集是。
高考不等式专题 讲解
高考重难点专题突破之 不等式。一 综述 内容 地位 作用 在苏教版高中数学教科书必修系列中，直接涉及 不等式 内容的部分为必修5第三章 不等式 另外，在实际教学过程中，在学到必修5 不等式 之前的某些章节 如集合 函数的值域等 无 理科班，基于教学内容的关联性和完整性，老师们基本上都要对选修4 5中...
2019,专题一不等式
专题一函数导数不等式。1.6 不等式及应用。基础知识回顾 1 不等式的性质 基本不等式和绝对值不等式的考查，大多出现在选择题或填空题中，一般属于容易题或中档题，备考中一定要注意理解并深刻记忆基本公式。2.单纯考查不等式的解法 不等式的证明的试题很少，通常以不等式与函数 数列 解析几何 三角等知识的综...
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