七年级的动点问题

安溪第十一中学吴文选

动点问题，是指图形中存在一个或多个动点，它们按一定的规则运动，解题的关键是动中求静，灵活联想有关数学知识做题，考查三种数学思想：分类讨论，数形结合，转化思想。

例1】（初一模拟一第25题）阅读材料：

如图①，在△abc中，∠b＝60°，若ab＝2bc，则有∠c＝90°．

利用以上结论解决问题：

如图②，等边△abc的边bc长为20cm，动点p从点b出发，以每秒1cm的速度向点a移动，动点q从点a出发，以每秒2cm的速度向点c移动，两动点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止移动．设动点p的移动时间为t秒．

1）填空：∠a＝（度）；t的取值范围是。

2）试求当t取何值时，△apq的形状是直角三角形．

考点：三角形综合题

分析：（1）根据等边三角形的性质求出∠a的度数和ac的长，根据题意求出t的取值范围；

2）分两种情况ap＝2aq、aq＝2ap两种情况．

解：解：（1）∵△abc是等边三角形，∠a＝60°，ac＝bc＝20cm，动点q从点a出发，以每秒2cm的速度向点c移动，0≤t≤10，故答案为：60；0≤t≤10；

2）由（1）得，①当ap＝2aq，即20t＝2t×2时，△apq是直角三角形，此时t＝4，当aq＝2ap，即2t＝2（20t）时，△apq是直角三角形，此时t＝10，当t取4或10时，△apq的形状是直角三角形．

点评：本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的判定，正确理解阅读材料、掌握判断直角三角形的方法是解题的关键．

例2】（县五月份练习二第16题）如图，长方形abcd中，ab＝4，ad＝2．点q与点p同时从点a出发，点q以每秒1个单位的速度沿a→d→c→b的方向运动，点p以每秒3个单位的速度沿a→b→c→d的方向运动，当p，q两点相遇时，它们同时停止运动．设q点运动的时间为x（秒），在整个运动过程中，当△apq为直角三角形时，则相应的x的值或取值范围是。

分析：由题意可得当0＜x≤时△aqm是直角三角形，当＜x＜2时△aqm是锐角三角形，当x＝2时，△aqm是直角三角形，当2＜x＜3时△aqm是钝角三角形．

解：当点p在ab上时，点q在ad上时，此时△apq为直角三角形，则0＜x≤；

当点p在bc上时，点q在ad上时，此时△apq为锐角三角形，则＜x＜2；

当点p在c处，此时点q在d处，此时△apq为直角三角形，则x＝2时；

当点p在cd上时，点q在dc上时，此时△apq为钝角三角形，则2＜x＜3．

故答案是：0＜x≤或x＝2．

点评：本题主要考查矩形的性质和列代数式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质，还要熟练掌握三角形形状的判断，此题难度一般．

动点问题，是七年级非常重要的问题，也是困难题，学生遇上了它就一个字——“晕”．但这个知识点又不得不学，因为这个知识比较综合，也比较抽象，是一类极为常见且重要的综合题，对学生的综合运用知识能力要求较高，涉及到想象能力、行程问题”等，更是学习“数形结合”思想的第一步．

解决动点问题首先要做到仔细理解题意，弄清运动的整个过程和图形的变化，然后再根据运动过程展开分类讨论画出图形，最后针对不同情况寻找等量关系列方程求解。

数学学习的精髓就是把“复杂问题”简单化，在解决动点问题时，首先遇到的第一个困难就是分析不出动点的运动过程，空间想象力和逻辑分析能力都显得不够，而在解题时，尤其是在考试过程中遇到动点问题，我的建议是多动手，多画几个运动过程中的图形，对于多个不同的运动时刻，按次序画出多个图形进行比较，往往可以看出动点的运动趋势和图形的整体变化过程，从而把握运动的全过程，为分类讨论和计算做好准备。比如我们可以画出特殊时间节点时刻的图形，通过观察比较寻找运动规律，而对动点运动时的一些特殊位置，比如两点重合，或者某一点到达一个特殊位置等，更需要画出图形，这些特殊位置往往是进行分类讨论的关键点。通过画图把握了运动的全过程，然后就可以根据不同情况进行分类讨论，寻找等量关系列方程计算。

这一步骤的关键是用代数式表示图形中的各量，主要是图中的各条线段长，最后寻找各量之间的等量关系，列出方程求解，有条件的老师更是可以借助几何画板来配合教学。

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