证明圆的切线方法及例题。
证明圆的切线常用的方法有：
一、若直线l过⊙o上某一点a，证明l是⊙o的切线，只需连oa，证明oa⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直。
例1 如图，在△abc中，ab=ac，以ab为直径的⊙o交bc于d，交ac于e，b为切点的切线交od延长线于f.
求证：ef与⊙o相切。
证明：连结oe，ad.
∵ab是⊙o的直径，∴ad⊥bc.
又∵ab=bc，∴∠3=∠4.
∴bd=de，∠1=∠2.
又∵ob=oe，of=of，∴△bof≌△eof（sas）.
∴∠obf=∠oef.
∵bf与⊙o相切，∴ob⊥bf.
∴∠oef=900.
∴ef与⊙o相切。
说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的。
例2 如图，ad是∠bac的平分线，p为bc延长线上一点，且pa=pd.
求证：pa与⊙o相切。
证明一：作直径ae，连结ec.
ad是∠bac的平分线，dab=∠dac.
pa=pd，2=∠1+∠dac.
2=∠b+∠dab，1=∠b.
又∵∠b=∠e，1=∠e
ae是⊙o的直径，ac⊥ec，∠e+∠eac=900.
1+∠eac=900.
即oa⊥pa.
pa与⊙o相切。
证明二：延长ad交⊙o于e，连结oa，oe.
ad是∠bac的平分线，be=ce，oe⊥bc.
e+∠bde=900.
oa=oe，e=∠1.
pa=pd，pad=∠pda.
又∵∠pda=∠bde,1+∠pad=900
即oa⊥pa.
pa与⊙o相切。
说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用。
例3 如图，ab=ac，ab是⊙o的直径，⊙o交bc于d，dm⊥ac于m
求证：dm与⊙o相切。
证明一：连结od.
∵ab=ac，b=∠c.
∵ob=od，1=∠b.
1=∠c.∴od∥ac.
∵dm⊥ac，∴dm⊥od.
∴dm与⊙o相切。
证明二：连结od，ad.
ab是⊙o的直径，ad⊥bc.
又∵ab=ac,1=∠2.
∵dm⊥ac，2+∠4=900
oa=od，1=∠3.
即od⊥dm.
dm是⊙o的切线。
说明：证明一是通过证平行来证明垂直的。证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知。
例4 如图，已知：ab是⊙o的直径，点c在⊙o上，且∠cab=300，bd=ob，d在ab的延长线上。
求证：dc是⊙o的切线。
证明：连结oc、bc.
∵oa=oc，∴∠a=∠1=∠300.
boc=∠a+∠1=600.
又∵oc=ob，obc是等边三角形。
ob=bc.
ob=bd，ob=bc=bd.
oc⊥cd.
dc是⊙o的切线。
说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好。
例5 如图，ab是⊙o的直径，cd⊥ab，且oa2=od·op.
求证：pc是⊙o的切线。
证明：连结oc
∵oa2=od·op，oa=oc，∴oc2=od·op，.
又∵∠1=∠1，∴△ocp∽△odc.
∴∠ocp=∠odc.
∵cd⊥ab，∴∠ocp=900.
∴pc是⊙o的切线。
说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的。
例6 如图，abcd是正方形，g是bc延长线上一点，ag交bd于e，交cd于f.
求证：ce与△cfg的外接圆相切。
分析：此题图上没有画出△cfg的外接圆，但△cfg是直角三角形，圆心在斜边fg的中点，为此我们取fg的中点o，连结oc，证明ce⊥oc即可得解。
证明：取fg中点o，连结oc.
abcd是正方形，∴bc⊥cd，△cfg是rt△
∵o是fg的中点，∴o是rt△cfg的外心。
∵oc=og，∴∠3=∠g，∵ad∥bc，∴∠g=∠4.
ad=cd，de=de，∠ade=∠cde=450，∴△ade≌△cde（sas）
即ce⊥oc.
∴ce与△cfg的外接圆相切。
二、若直线l与⊙o没有已知的公共点，又要证明l是⊙o的切线，只需作oa⊥l，a为垂足，证明oa是⊙o的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”
例7 如图，ab=ac，d为bc中点，⊙d与ab切于e点。
求证：ac与⊙d相切。
证明一：连结de，作df⊥ac，f是垂足。
∵ab是⊙d的切线，de⊥ab.
df⊥ac，deb=∠dfc=900.
ab=ac，b=∠c.
又∵bd=cd，bde≌△cdf（aas）
∴df=de.
∴f在⊙d上。
∴ac是⊙d的切线。
证明二：连结de，ad，作df⊥ac，f是垂足。
ab与⊙d相切，de⊥ab.
ab=ac，bd=cd，1=∠2.
de⊥ab，df⊥ac，de=df.
f在⊙d上。
ac与⊙d相切。
说明：证明一是通过证明三角形全等证明df=de的，证明二是利用角平分线的性质证明df=de的，这类习题多数与角平分线有关。
例8 已知：如图，ac，bd与⊙o切于a、b，且ac∥bd，若∠cod=900.
求证：cd是⊙o的切线。
证明一：连结oa，ob，作oe⊥cd，e为垂足。
ac，bd与⊙o相切，ac⊥oa，bd⊥ob.
ac∥bd，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.
∵∠cod=900，2+∠3=900，∠1+∠4=900.
rt△aoc∽rt△bdo.
oa=ob，又∵∠cao=∠cod=900，∴△aoc∽△odc，1=∠2.
又∵oa⊥ac，oe⊥cd,oe=oa.
e点在⊙o上。
cd是⊙o的切线。
证明二：连结oa，ob，作oe⊥cd于e，延长do交ca延长线于f.
ac，bd与⊙o相切，ac⊥oa，bd⊥ob.
ac∥bd，f=∠bdo.
又∵oa=ob，aof≌△bod（aas）
of=od.
cod=900，cf=cd，∠1=∠2.
又∵oa⊥ac，oe⊥cd，oe=oa.
e点在⊙o上。
cd是⊙o的切线。
证明三：连结ao并延长，作oe⊥cd于e，取cd中点f，连结of.
ac与⊙o相切，ac⊥ao.
ac∥bd，ao⊥bd.
bd与⊙o相切于b，ao的延长线必经过点b.
ab是⊙o的直径。
ac∥bd，oa=ob，cf=df，of∥ac，1=∠cof.
cod=900，cf=df，2=∠cof.
oa⊥ac，oe⊥cd，oe=oa.
e点在⊙o上。
cd是⊙o的切线。
说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明a、o、b三点共线。
以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考。
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